几何变换之对称(2)练习-中考数学专题

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中考要求
例题精讲
板块四 轴对称图形——等腰三角形
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求三角形三个内角的度数．
本题分两种情形：
= 1 \* GB2 ⑴等腰三角形为锐角三角形时，三内角度数为、、；
⑵当等腰三角形为钝角三角形时，三内角度数为、、．
【巩固】已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．
若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为140，20，20；
若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为100，40，40；
若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为40，70，70．
此题很典型.
(08年宣武初三一模考试)已知中，，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.

如下图：
【巩固】在中，．若过一个顶点的直线可将分成两个等腰三角形，求各内角的度数．
本题需分以下几种情形讨论．
⑴当直线过的底角顶点时：
情形一：如图⑴，分成两个等腰三角形，其中，易得，
．

情形二：如图⑵，分成两个等腰三角形，其中，，
，；
⑵当直线过的顶角顶点时：
情形三：如图⑶，分成两个等腰三角形，其中
易得，；
情形四：如图⑷，分成两个等腰三角形，其中，，
易得，所以．
【巩固】(08年大兴初三一模考试)已知菱形中，，请设计两种不同的分法，将菱形分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.
以下答案仅供参考.

是一个钢架，，在其内部添加一些钢管，，，，，…添加的钢管长度都与相等．
= 1 \* GB2 ⑴当添加到第五根钢管时，求的度数．
⑵假设、足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?

⑴由于，所以，
所以，．
同理，依次可求得，，．
因此．
⑵不能无限添加下去．根据⑴中所得到的规律，当添加到第八根时，它与的一边成角，与另一边垂直，无法再作出等腰三角形，因此，最多能添加八根．
【巩固】(初二第届希望杯试)如图，中，，是的平分线，是的平分线，是的平分线，，求.

∵在中，，∴
∵，，分别是，，的角平分线
∴，，∴，∴
∴，∴，即
∴，∴，∴
∴在中，，，∴
中，，，，．试比较与的大小．
(方法1):
由条件可得，
所以，所以．
同理可得，，所以．
(方法2)：
所以
【巩固】已知中，点、在上，且，，求.
(方法1)：
由，可得．
因为，，所以，，
因此
．
(方法2)：
设，，．
根据题意有，两式相加，得，即．
中，，，，．试比较与的大小．
(方法1)由条件可得，
所以，所以．
同理可得，，所以．
(方法2)
所以
【巩固】已知中，点、在上，且，，求.
（方法1）由，可得．
因为，，所以，，
因此
．
（方法2）设，，．
根据题意有，两式相加，得，即．
在正方形所在平面上找一点，使是等腰直角三角形，这样的点你能发现几个?请作出这些点．
如图所示的6个点、、、、.
【点评】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整答案.
【巩固】如图，在正方形所在平面上找点,使、、、同时为等腰三角形，这样的点你能发现几个?请作出这些点．
这四个等腰三角形，又可分为两类：(1)以正方形的边为底边的等腰三角形；(2)以正方形的边为腰的等腰三角形．不难发现以为圆心，为半径画弧交和的中垂线于点、，则、符合条件，这样正方形里、外在两中垂线上有8个点，再加上中心，共有9个点．
【巩固】把正方形改成正三角形．已知如图，在正所在平面上找点使、、同时为等腰三角形，作出这些点．
正三角形的每条对称轴上有3个满足条件的点，有3条对称轴，再加上正三角形的中心，共有l0个点．解题的关键是画出正三边的中垂线．
如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点．、、之间存在着怎样的数量关系?

连结，由，得：
又∵，∴
【巩固】如图，点为正三角形内任意一点，于点，于点，于点，于点．、、、之间存在怎样的数量关系?

连结、、．∴
∴
而，∴
点为正三角形外的一点，且于点，于点，于点，于点此时、、、之间存在怎样的数量关系?

根据题意画出图形，发现符合条件的图形不止一个，经过测量和分析会发现，
在图⑴中有的结论，
在图⑵中有的结论，
证明方法与【变式】问题类似，具体证明略．
讲解此题之前请先讲解变式.
【巩固】为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，如图，求证：．

解法一：过点作于点．在和中，，，，，，又由四边形为矩形，则．
．
解法二：连结.
∵，即，
而，∴
板块五 轴对称与折叠问题
(09甘肃省兰州市)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是
A．
B．
C．
D．
D
如图所示，为的中线，，把沿对折，点落在点的位置，则和之间的数量关系为___________．
．点拨：∵，沿对折，∴，
为中点，，∴，．
【巩固】（2004南平）已知：如图，在△ABC中，BC=8，AD是BC边上的高，D为垂足，将△ABC折叠使点A与点D重合，则折痕EF的长为_________．
4
如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．
由题意可知，，．
∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴
【巩固】（09湖南衡阳）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
Ｃ
如图，矩形纸片，，，沿对角线折叠（使和落在同一平面内），求和重叠部分的面积．
∵为矩形 ∴
∵ ∴
∴
∵ ∴，
∵ ∴
∴
∴
（09浙江义乌）如图，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
⑴ 当，折痕的长为 ；当点与点重合时，折痕的长为 ；
⑵ 求出当时四边形的周长；
温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

⑴ ，
⑵当时，如图1，连接、
∵为折痕，∴
令为，则
在中，
∴，解得，此时四边形周长为．
⑴（09福建省莆田市）如图，把矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．若、、，请写出、、之问的一个等量关系_________．
⑵ (09湖北荆门)如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则( )
A．B．C．D．
⑶（09河北）如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．

⑴；⑵Ｄ；⑶．
板块六 几何证明中的轴对称
已知等腰直角中，，是角平分线，，交延长线于点．求证：．
延长、交于点．因为，，所以，
，所以．因为等腰直角中，，且
，所以，所以．
因为是角平分线，且，是公共边，所以．所以，即．
在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：．

延长交于，则得，所以为中点，所以，所以
含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形．
在中，为边的中点，于点，交于点，求证：．

连结，易得，．而，于是，故．
【巩固】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：

在上截取，连结，根据证得≌，∴，
又中，，，∴
【巩固】如图所示，在中，，是边上的高，点在内部，求证：.

作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接.
因为，是边上的高，易得.
因为，，故.
在中，，，为内部一点，，，求的度数.

容易求得，.
的对称轴为，作点关于的对称点，
则，
故为等边三角形，
则平分，.
故.
如图所示，在四边形中，，，求证：.

注意到，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出角.
以为对称轴将翻折到的位置，连接.则，
，故为等边三角形.
从而，等号成立时平分.
【巩固】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求三角形三个内角的度数．
本题分两种情形：
= 1 \* GB2 ⑴等腰三角形为锐角三角形时，三内角度数为、、；
⑵当等腰三角形为钝角三角形时，三内角度数为、、．
【巩固】(08年宣武初三一模考试)已知中，，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.

如下图：

【巩固】(2001年河南省中考题)在中，平分，．求：的值．

在上截取，连结
根据证得≌，∴，，
结合已知可得，∴，∴，
【巩固】已知正方形的面积是，是正方形外一点，是等腰直角三角形，求.
本题的关键是等腰直角三角形的直角顶点(或腰)不确定，需分类进行探索．
若按直角顶点分类，如图⑴和图⑵应有三种情形：为直角或为直角或为直角．
若按边分类则有两种情形：边为腰或为底边，故面积为或．

(第24届澳大利亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，，为三角形内一点，，，求证：.
由已知条件，考虑作直线于，并以为对称轴将翻折至的位置，连接．
由轴对称的性质有，．
因为，
于是，
即是正三角形，
从而可得，.
再由三内角之和为，
即，
整理后得．
（年学而思杯）如图：、、三点在同一条直线上，三角形和三角形是顶角相等的等腰三角形，其中和为等腰三角形的底边，是的中点，是边的中点，是边的中点．
⑴ 求证：；
⑵ 求证：．

解法1：⑴作点关于的对称点，连接和，设，则，，所以、、共线．
设关于的对称点为，连接、和，则．
因为三角形和三角形都是等腰三角形，是等腰三角形底边上
的中点，是等腰三角形底边上的中点，所以，．
所以，四边形为直角梯形．
作该梯形的中位线，则，
所以，是的垂直平分线，
所以三角形是等腰三角形，．
⑵；
因为三角形是等腰三角形，所以；
．
因为，所以；
三角形是等腰三角形．
综上．
解法2：连接、，作，，垂足为和，作关于的对称点．有两个等腰三角形的顶角相等，可很容易得到底角也向等，所以是的角平分线，所以在，和关于对称．容易证明，，所以，所以
∥∥，在梯形中，是中位线，所以是的中点，根据对称性，，又因为，，所以，所以，
．
【巩固】如图所示，已知在中，，，，的平分线交于，求 之长．
由于平分，因此这就提供了以为轴进行对称变换的可能性.
取的中点，连接，交于，易知与关于对称，且.
由于，，所以．
延长至，使，连接交的延长线于点.
显然和关于对称，且．
由于是的中位线，
所以，，
因为，所以．
所以，．于是．
【巩固】如图所示，在中，，，为的中点，，是边上的点，，求的面积与的面积的两倍的和．

将补成一个等边三角形，并作的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于．
作，其中点在的延长线上，则为等边三角形.作于点，并取点关于点的对称点，
则有．
而，，
故，且相似比为．
则．
而()，
故．
(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，的平分线交于点，已知，且，求的各个内角．
是角平分线提示我们可以进行“翻折”．
将点翻折到的位置，且在的延长线上，
且，，.
延长至点，使，
则，
故，
从而，
则，
故为等边三角形．
故，．
如图所示，为边上的一点，且，已知，，试求的度数.

作出点关于直线的对称点，连接、、，则，如图所示.
．
取的中点，连接，则为等边三角形，，
故，．
又因为，故，故平分，
故点到直线、、等距，
从而是的外角平分线，
所以．
如图所示，在四边形中，，，，，，求四边形的面积.
直接计算四边形的面积有困难，注意到，我们以的垂直平分线为对称轴，作的关于的轴对称图形，从而可以将角度集中.
，，，，
所以，
因此，是直角三角形．
由勾股定理求得．
在中，，，．
而．
由勾股定理的逆定理可知.
.
【巩固】在凸四边形中，,.如果厘米，求四边形 的面积.
如图所示，以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形，
则，，，
故、、共线．
又因为，
由可知，
而，
故．
因此，是等腰直角三角形．
故．
(第3届英国数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，，、为的两条高，求证：.
法1：将改写为，可形成下面的思路：
的平分线记为，作点关于的对称点，作点关于的对称点，过点作的垂线，因为，，
而，
故.
法2：我们用“分析法”寻求思路：
.
注意到，，，
故.
而由、.
(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点是四边形的边的中点，且,证明：.
显然，要证题设的不等式，应当把，，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.
以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，
则，，即≌，由此.
再以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，
则，，即≌，由此.
而，所以.
注意到，
因此，
而，所以是等边三角形，.
由于两点之间以直线段为最短，所以，
即.
(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 设是凸四边形的边的中点，，求证：.
作点关于的对称点，作点关于的对称点，
连接、、，
则，
且，.
而，
则，
故.
(1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在四边形中，，，求证：
(1) ；
(2) .
(1) 以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，
且，.
将平移到的位置，则由可知在的延长线上，
且，
，
因此是一个等腰梯形，
所以，
于是.
(2) 由(1)可得，
即，
而由及勾股定理可得，
故.
如图所示，为边上的一点，且，已知，，试求的度数.
作出点关于直线的对称点，连接、、，则，如图所示.
.
取的中点，连接，则为等边三角形，，
故，.
又因为，故，故平分，
故点到直线、、等距，
从而是的外角平分线，
所以.
【巩固】如图，已知，线段、分别平分、、，，、为垂足，求证：．
延长、交于、两点．
∵，，，
∴，∴．
同理．∴．
已知在中，，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：．
解法一：如图，由向作垂线，垂足为，连接．
又∵，，
∴，，公共．
∴，．
又∵，，
∴，故，
∴．而，
∴为平行四边形，故．
又∵，∴．而，故，
∴．而，∴．
解法二：如图，作，交于．
∵，，∴．
又∵，，∴．
而，故．∴，．
又∵，∴．∴，
∴，即．
∴．
解法三：如图，过作，垂足为．过作，垂足为．
又∵，，
∴，∴．
∵，，
∴，∴，∴．
又∵，，而．
∴，，故．
解法四：如图，延长到，使，连接，
过作交于，显然．∴，．
又，公共，
∴，，．
显然为平行四边形，
∴．
由另证1可知，故．
如图，已知，，，．求证：．
解法一：如图，取的中点，连接、．
∵，，
∴．
∵，，公共，
∴．
∴．
∴．
解法二：如图，延长到，使，．
∵，，公共，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰三角形底边上的中线，
∴．
解法四：如图，取、的中点、，连接、，∴，故．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．而，公共，
∴．
∴，，
∴是直角三角形．∴．
如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：．
解法一：如图，过作，交于，垂足为，连接．
∵，，，，
∴．∴是的中垂线．
又∵，∴，
∴是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），
∴，，，
∴．
∴．
解法二：如图，过作．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
而，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，故．
∴，，
∴．
如图，在中，，的平分线交于，过作，垂足为，求证：．
解法一：如图，延长、交于．
∵，，
∴．∴．
而，∴．
∵平分，∴，，
∴．
故，∴．
解法二：如图，延长、交于．
∵，，
∴，．
过作，交于，
则，，．
∴，∴．
解法三：如图，延长、交于，过作交于．
∵，，
∴，．故有．
∵，∴．
∵，∴．
解法四：如图，取的中点，连接交于，则是斜边上的中线．
∴，．
∴．
故，，，
有，故是的重心．
∴为的中线，故．
在的斜边上分别取两点、，使，，，为垂足，求证：．
解法一：如图，作的平分线交于，连接．
∵，，公共，
∴，，．
∵，∴．
而，
∴，∴与重合，
故．
解法二：如图，连接．
∵，∴．
而，，
∴．
又∵，∴．
故，∴．
解法三：如图，连接．
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即．
而，∴．
又，∴是等腰直角三角形．
∴．
（年全国初中数学联赛）已知中，，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点、的中点分别为、．求证：．
因为是的平分线，所以.
又因为，所以
，
因此．
又是的中点，所以，
延长交于，延长交于．
可证明,．
所以和分别是和的中位线．
所以．
（年全国初中数学竞赛天津赛区初赛）如图，在中，已知，．若，则的大小为_________（度）．

如图所示，将沿所在直线对折，使点落在点位置，得，与交于点．
因为，所以，，．
由为的一个外角得
．
故在中，
．
所以，．
又为沿对折得到，有，而，则．
故．
则．
因为在中，
，故．
内容
基本要求
略高要求
较高要求
轴对称
了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称
能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质
能运用轴对称进行图案设计