全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 27实际应用之抛物线形综合（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 27实际应用之抛物线形综合（含答案解析版），共32页。试卷主要包含了问题提出，根据以下素材，探索完成任务，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
在2024年中考即将到来之际，学校准备开展“百日誓师，指战中考”活动，小星同学对会场进行装饰．
如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
（1）建立模型如图2，直接写出两墙AB、CD的高度，抛物线的顶点坐标；
解决问题
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当2≤n≤时，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝4，
则x＝4＝﹣＝﹣，
解得：a＝0.1；
则抛物线的表达式为：y＝0.1x2﹣0.8x+3，
则点A（0，3），即AB＝CD＝3（米），
当x＝4时，y＝0.1x2﹣0.8x+3＝1.4，
即顶点坐标为：（4，1.4）；
（2）设抛物线的表达式为：y＝a′（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：3＝a′（0﹣2）2+2，
解得：a′＝，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2，
当x＝3时，y＝（x﹣2）2+2＝2.25（米），
即点M到地面的距离为2.25米；
（3）由题意知，点M、C纵坐标均为3，则右侧抛物线关于M、C对称，
则抛物线的顶点的横坐标为：（m+8）＝4+m，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣4﹣m）2+n，
将点C的坐标代入上式得：3＝（8﹣4﹣m）2+n，
整理得：n＝﹣m2+m﹣；
当n＝2时，即2＝﹣m2+m﹣，
解得：m＝8﹣2（不合题意的值已舍去）；
当n＝时，
同理可得：m＝8﹣，
故m的取值范围为：8﹣2≤m≤8﹣．
对应练习：
1．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤x≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤x≤．
2.（2024春•江岸区校级月考）在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线y＝x2+bx+c．已知绳子最低点距离地面米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示．
（1）求立柱AB的长度；
（2）一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；
（3）若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y＝x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米，直接写出MN与CD的最近距离为 4米 ．
【解答】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣5）2+，
即y＝x2﹣x+3，
令x＝0，得到y＝3，
∴AB＝3米；
（2）由题意设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，
把A（0，3）代入解析式得：3＝a（0﹣3）2+2，
解得：a＝，
∴y＝（x﹣3）2+2，
当x＝4时，y＝，
∴MN＝米；
（3）抛物线F1的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点距离地面1.92米，
∴设抛物线F1的解析式为y＝（x﹣h）2+1.92，
把A（0，3）代入解析式得：3＝（﹣h）2+1.92，
解得：h1＝﹣3.6（舍去），h2＝3.6，
∴抛物线F1的解析式为y＝（x﹣3.6）2+1.92，
∵MN＝2.4，
∴当y＝2.4时，（x﹣3.6）2+1.92＝2.4，
解得：x1＝1.2，x2＝6，
当x＝1.2时，DM＝10﹣1.2＝8.8（米），
当x＝6时，DM＝10﹣6＝4（米），
∵4＜8.8，
∴MN与CD的最近距离为4米．
故答案为：4米．
3.（2024•赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 y＝（x+3）2+ ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3，），
∴可设抛物线为y＝a（x+3）2+．
又B（0，2），
∴2＝a（0+3）2+．
∴a＝．
∴抛物线为y＝（x+3）2+．
故答案为：y＝（x+3）2+．
（2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称．
∴B是它们的中点．
又C（﹣3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，）．
∴此人腾空后的最大高度为米．
又此时可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2+，
将B（0，2）代入得，
∴a'（0﹣3）2+＝2．
∴a'＝﹣．
∴抛物线BD的解析式y＝﹣（x﹣3）2+．
②由①得y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣3）2+．
∴x＝8或x＝﹣2（舍去）．
∴OD＝8米．
又OE＝12米，
∴DE＝12﹣8＝4＞3．
∴落点D在安全范围内．
（3）由题意，如图，EF即为所求钢架．
∵ACB所在抛物线y＝（x+3）2+，
令y＝4，
∴4＝（x+3）2+．
∴x＝﹣8或x＝2（舍去）．
∴M（﹣8，4）．
又B（0，2），
∴直线BM为y＝﹣x+2．
∵EF∥BM，
∴可设EF为y＝﹣x+m．
联立方程组，
∴（x+3）2+＝﹣x+m．
∴x2+8x﹣8m+16＝0．
∴Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0．
∴m＝0
∴直线EF为y＝﹣x，过原点，即F与O重合．
∵M（﹣8，4），
∴令x＝﹣8，则y＝﹣x＝﹣×（﹣8）＝2．
∴OE＝2米，ON＝8米．
又∠ENO＝90°，
∴EF＝EO＝＝2（米）．
答：这条钢架的长度为2米．
4．（2024秋•青山区期中）如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m．
（1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式；
（2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由；
（3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0），
由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，﹣0.2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1.8；
（2）游船能够通过．
理由：由（1）得：抛物线解析式为：y＝﹣x2+1.8，
当x＝0.8时，y＝﹣×0.82+1.8＝1.48．
∵1.48＞1.3+0.1，
∴游船能够通过；
（3）设此时彩灯与抛物线交于点M（a，﹣a2+1.8），
∴PM＝2a，
∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m，
∴彩灯的最低点Q在直线y＝1.2上，
∴点N为（a，1.2），
∴MN＝﹣a2+0.6，
设彩灯的长度为w，
w＝PM+2MN
＝2a﹣a2+1.2
＝﹣a2+2a+1.2，
∵﹣1＜0，
∴a＝1时，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2．
答：这串彩灯的最大长度为2.2米．
例2．（2024•德化县模拟）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原点的水平线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度OA为1m，测得当飞行的水平距离为1m时，飞机的飞行高度为2.8m；当飞行的水平距离为3m时，飞机的飞行高度为5.2m．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求飞机飞行的最大高度及最远距离．
（3）由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点A的上下平移而上下平移．如图，在水平线x轴上设置回收区域PQ，OP＝11m，PQ＝1m，要使飞机恰好降落到PQ内（包括端点P，Q），直接写出发射台的高度OA的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线表达式为：y＝ax2+bx+1，
将（1，2.8），（3，5.2）代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣5）2+6，
∴飞机飞行的最大高度为6m，
当y＝0时，即﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得x1＝5+，x2＝5﹣，
∴飞机飞行的最远距离为（5+）m；
（3）∵OP＝11m，PQ＝1m，
∴P（11，0），Q（12，0），
设平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣5）2+6+k，
将（11，0）代入得：﹣（11﹣5）2+6+k＝0，
解得：k＝1.2，
将（12，0）代入得：﹣（12﹣5）2+6+k＝0，
解得：k＝3.8，
∴1+1.2≤OA≤1+3.8，
即2.2≤OA≤4.8．
故发射台的高度OA的取值范围为：2.2≤OA≤4.8．
变式练习：
1．（2024秋•洛龙区期中）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
（1）求a，b的值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
【解答】解：（1）由题意可得：
抛物线y＝ax2+x和直线均经过点（9，3.6），
∴3.6＝81a+9，，
∴，b＝8.1；
（2）由①知：，，
∴，
∴最大值．
当时，
则，
解得x1＝12，x2＝3，
又∵由题意可得，若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
∴x1＝12不合题意，舍去；
∴当火箭第二级高度y＝2.4km时，代入数据可得：，
∴x＝11.4，
11.4﹣3＝8.4（km），
∴这两个位置之间的距离8.4km．
2．（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 11.25 ，直接写出满足的函数关系式： y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25 ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作．
3．（2024秋•洪山区期中）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）当k＝时，求这条抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3），
又∵k＝，
∴可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+，
则3＝a（2﹣3）2+，
解得：a＝﹣，
故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+；
（2）根据题意，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则0＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去）．
∴运动员落水点与点C的距离为（3+）米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x＝时，y＝a+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
当x＝6时，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥，
故≤k≤．
4．（2024秋•阎良区期中）根据以下素材，探索完成任务．
【解答】解：任务1，由题意可知，A（0，0.9），B（6，0.9），E（1，1.4）．
把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9，得，
∴．
任务2，不能．理由如下：
由任务1知，该抛物线的解析式为 y＝﹣0 1x2+0.6x+0.9，
又∵y＝﹣0.1x2+0 6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，
∴抛物线的顶点坐标为（3，1.8），即绳子甩到最高处时最高点的高度为1.8米．
∵1.85＞1.8，
∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过．
5．（2024秋•思明区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
【解答】解：（1）由题意，点A的坐标为（1，18），且点A在滑道所在的抛物线上，
将x＝1，y＝18代入，得：18＝﹣4+c，
解得：c＝，
因此滑道对应的函数表达式为y＝x2﹣4x+；
（2）当v＝5，t＝1时，h＝6t2＝6，l＝vt＝5×1＝5，
当x＝5+1＝6时，y＝×62﹣4×6+＝5，OB﹣h＝18﹣6＝12＞5，
因此运动员此时没有落在滑道上；
（3）设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为：y′，
则y′＝（﹣x2+x+t）﹣（x2﹣4x+）＝﹣（x﹣）2+t﹣，
∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励，
∴8＜t﹣＜10，
∴17.7＜t＜19.7，
当t＝18或19时，该滑雪爱好者能够获得奖励．
6．（2024秋•马尾区期中）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴OA＝OB＝AB＝×6＝3．
∴点B的坐标为（3，0），
∵OP＝9，
∴点P的坐标为（0，9），
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9，
∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9），
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝AB＝×6．
∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，
根据题息，得DE+CF＝6，
∴﹣m2+6+2m＝6，
解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去），
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2
答：DE的长为4米，CF的长为2米．
7．（2024秋•乐清市期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，将（0，0）代入得：
，
∴抛物线的解析式为，
当y＝﹣10时，，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，﹣10）；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，
将代入，
即，
∵，
∴该运动员此次跳水失误了．
8．（2024秋•罗定市期中）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为3m，与水面的高度为4.5m．
（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度；
（2）当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离．
【解答】解：（1）海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，把（3，4.5）代入得：
9a+2×3＝4.5，
解得，
∴，
∴海豚此次训练中离水面的最大高度是6m；
（2）由题意得：，
解得x1＝8，x2＝4，
答：海豚与起跳点O的水平距离是8m或4m．
9．（2024秋•西城区校级期中）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上，若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系，当拱门上的点到O点的水平距离为x（单位：m）时，它距地面的竖直高度为y（单位：m）．
（1）经过对拱门进行测量，发现x与y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求y与x满足的函数关系式．
（2）在一段时间后，公园重新维修拱门，在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与它到O点的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30，若记原拱门的跨度为d1，新拱门的跨度为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【解答】解：（1）由表格中的数据可得：拱门对应的抛物线经过（2，4）和（10，4），
∴拱门对应的抛物线的对称轴为x＝＝6，
∴拱门对应的抛物线的顶点坐标为（6，7.2），
∴拱门的高度（即最高点到地面的距高）为7.2米．
由题意：拱门对应的抛物线经过（0，0）和（12，0），
∴拱门的跨度（即拱门底部两个端点间的距离）＝12﹣0＝12（米）．
设y与x满足的函数关系式y＝a（x﹣6）2+7.2，
将（2，4）代入得：4＝16a+7.2，
∴a＝﹣0.2．
∴y与x满足的函数关系式为y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2；
（2）将（0，0）代入y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30，
则0＝﹣0.18（0﹣h）2+7.30，
解得：h＝±（负数不合题意，舍去），
∴抛物线y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30与x轴的另一个交点为（，0），
∴新拱门的跨度为d2＝．
∵＝122＝144＝，＝，
∴，
∴d1＜d2．
故答案为：＜．
10.（2024•东城区一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）直接写出击球点的高度；
（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，
故击球点的高度为1.1m；
（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为（3，2），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2，
过点（4，1.9），
∴1.9＝a（4﹣3）2+2，
解得a＝﹣0.1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，
（3）∵第一次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），
∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，
∵第二次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．
解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），
∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，
∵+1＜+1.5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜
11．（2024秋•武汉期中）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C1：y＝﹣0.4（x﹣a）2+3.2；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C2：y＝﹣0.4x+b，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m．
（1）求a，b的值．
（2）小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网．
（3）通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动 米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
【解答】解：（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m，
∴﹣0.8+b＝2，
解得b＝2.8，
∴一次函数解析式为y＝﹣0.4x+2.8；
当x＝0时，y＝2.8，
则点P的坐标为（0，2.8），
∴2.8＝﹣0.4（0﹣a）2+3.2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去）；
（2）令y＝﹣0.4x+2.8中x＝3，则y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6，
∴球网AB的高度为1.6m，
选择吊球，二次函数y＝﹣0.4（3﹣1）2+3.2＝1.6，
∴选择吊球的方式也刚好能使球过网；
（3）∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，
∴点P的坐标为（0，2.5），
设向前移动m米，则二次函数解析式为y＝﹣0.4（x﹣1﹣m）2+c，
将点（5，0.4）及点P的坐标代入，
得，
解得，
∴他应该向正前方移动米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
12．（2024秋•香洲区校级期中）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，y有最大值，y最大值＝．
∴演员弹跳离地面的最大高度是4.5米．
（2）能成功表演．理由是：
当x＝4时，y＝﹣×42+2×4+2＝3.6．
即点B（4，3.6）在抛物线y＝﹣x2+2x+2上，
因此，能表演成功．
13．（2024•保康县模拟）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围．
【解答】解：（1）①设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，
把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，
解得：a＝﹣，
∴解析式为：y＝﹣（x﹣20）2+10，即y＝﹣x2+x（0≤x≤40）；
②石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝30代入y＝﹣x2+x得：
y＝﹣×900+30＝7.5，
∵7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB；
（3）由题可知B（28，6），抛物线y＝a（x﹣20）2+k，
∴把（0，0），（28，6）代入得：，
解得a＝﹣；
把C（30，6），（0，0）代入解析式，
解得a＝﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a≤﹣．
14．（2024秋•邕宁区校级月考）小明同学探究“二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k中k的值与图象和x轴两个交点之间的距离s的数量关系（k＞0），经实际的操作测量数据小明绘制出了如下数据表格（表1），然后在平面直角坐标系中，描出表格中各对数值所对的点，得到图2．小明由图二中点的分布情况得到了的结论．将该图象起名为“躺平的抛物线”
【发现问题】课后小明在抛掷一个乒乓球时，发现其运动轨迹与水平距离，最大高度有一定的规律和联系，于是使用频闪相机进行探究．
【提出问题】每次该球反弹的最大高度有什么规律？如何求得乒乓球的大致水平移动距离？
【得到规律】多次实验后，小明发现该球的运动轨迹可以用二次函数来刻画，近似看作如图3所示y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，每次反弹后的最大高度是上一次的．
【分析思路】认真思考后，小明很快想到了计算方法．以地面为x轴，抛出点到地面垂直距离所在直线为y轴，小球运动方向和地面上方分别为两轴正方向（小球的体积，半径忽略不计）．利用公式，可求出s值，如图3所示．
【解决问题】小明抛出乒乓球后，该球在距抛出点水平距离0.5m处到达最大高度2m．该球在第五次触地后不再反弹，滚动2m后停止运动．
（1）设第一段抛物线为C1，求出C1的函数表达式．
（2）求该球停止运动时距抛出点的水平距离．
【解答】解：（1）∵该球在距抛出点水平距离0.5m处到达最大高度2m．
∴y＝﹣（x﹣0.5）2+2；
（2）令0＝﹣（x﹣0.5）2+2，
解得：（舍）；
∵每次反弹后的最大高度是上一次的，
∴第一次触地反弹后的最大高度为：（m），；
第二次触地反弹后的最大高度为：m，；
第三次触地反弹后的最大高度为：m，；
第四次触地反弹后的最大高度为：m，；
∴该球停止运动时距抛出点的水平距离为：．
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
问题背景
如图1是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动．

素材1
如图2，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米．

素材2
如图2，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
问题解决
任务1
设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+0.9，求a、b的值．
任务2
身高为1.85米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由.
如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？
素材1
图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长为1米，平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为．



素材2
运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米．
素材3
实验表明：h＝6t2，l＝vt．
素材4
滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若5≤x≤7时，飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8～10米的范围内即可获得奖励．
问题解决
任务1
确定滑道形状
根据图2，求滑道抛物线的解析式；
任务2
确定滑雪爱好者与滑道位置关系
根据图3，当v＝5，t＝1时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上？
任务3
确定滑雪爱好者的滑雪方案
滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整数t的值．
x/m
2
3
6
8
10
12
y/m
4
5.4
7.2
6.4
4
0
水平距离x/m
0
1
2
3
4
飞行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9