北京市第十八中学2024-2025学年 九年级上学期期中数学试卷

这是一份北京市第十八中学2024-2025学年 九年级上学期期中数学试卷，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝8B．（x﹣2）2＝0C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝4
3．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
4．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝0D．直线y＝1
5．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
6．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则下列说法中不正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0
B．4a+b＝0
C．方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集为1＜x＜3
8．（2分）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为 ．
10．（2分）将y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
11．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 ．
12．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
13．（2分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
14．（2分）某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为 ．
15．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝4cm，CD＝1cm，则轮子的半径为 cm．
16．（2分）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．在大片的麦田或农田中，由农作物倒伏形成的几何图案被称为“麦田怪圈”．图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图2，成员甲先借助绳子绕行一周画出⊙O，再将⊙O三等分，得到A，B，C三点．接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了监测仪器，若将射线OB绕着点O逆时针旋转，与⊙O交于点P，与弧三角形交于点Q，射线OB的旋转角记为自变量x（单位：°，0≤x＜360），（如图2）．P、Q到监测仪器的距离分别记为y1和y2（单位：m），绘制出两个函数的图象（如图3）．结合以上信息判断，①⊙O的半径为6m；②图3中a的值为270；③当x＝60时，y1取得最大值12；④监测仪器放置在点A处．其中说法中错误的是 .（填写序号即可）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴（ ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O．
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°
20．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝4，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
23．（6分）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：
y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 ；
（2）求当销售单价为多少元时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大？最大利润是多少元？
24．（6分）如图，⊙O的半径OC与弦AB互相垂直，垂足为D，连接AC，OB．
（1）求证：2∠A+∠B＝90°；
（2）延长BO交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BA的延长线于点F．若AC∥BE，EF＝4，求∠B的度数及AC的长．
25．（6分）数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为10dm3，底面为正方形的长方体包装盒（如图1），当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）设长方体包装盒的底面边长为x dm，表面积为y dm2．可以用含x的代数式表示长方体的高为，根据长方体的表面积公式：长方体表面积＝2×底面积+侧面积．得到y与x的关系式： （0＜x≤3）；
（2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）
（3）在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为 dm时，需要的材料最省．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当m＝n时，直接写出抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）若m＜n＜4，求t的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ ；
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
2024-2025学年北京十八中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形逐一判断即可．
【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝8B．（x﹣2）2＝0C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝4
【答案】A
【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
3．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【答案】A
【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，
∴BC与B'C是对应边，
∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．
4．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝0D．直线y＝1
【答案】B
【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可得答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
5．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理，由∠AOB＝72°，即可推出结果．
【解答】解：∵∠AOB＝72°，
∴∠ACB＝36°．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．
6．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角等基本知识．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则下列说法中不正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0
B．4a+b＝0
C．方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集为1＜x＜3
【答案】D
【分析】由开口方向和与y轴的交点位置判定选项A，由对称轴为直线x＝2判定选项B，由图象与x轴的交点判定选项C和选项D．
【解答】解：A、∵开口向下，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＜0，c＜0，故选项A正确，不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故选项B正确，不符合题意；
C、∵函数图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝2，
∴函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3，故选项C正确，不符合题意；
D、由图象可知，函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围为x＜1或x＞3，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜1或x＞3，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点和一元二次方程、一元二次不等式间的关系，解题的关键是能够快速准确的读懂题目发现图象中所蕴含的信息．
8．（2分）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：①当点B，O，P三点在同一条直线上时，BP为⊙O的直径，
∴∠PAB＝90°，故正确，符合题意；
②∵OP垂直于AB，OA＝OB，
∴∠OAP＝∠OBP；故正确，符合题意；
③如图，当点P在优弧APB上时，
∠APB＝∠AOB，
当点P在劣弧AB上时，
∠AP′B＝180°﹣∠APB＝180°﹣AOB，
∵∠APB与∠AP′B不一定相等，
∴∠APB的大小会变化，故③错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为 （﹣1，2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
10．（2分）将y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ （x﹣1）2+4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：将y＝x2﹣2x+5化成y＝（x﹣1）2+4，
故答案为：（x﹣1）2+4
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
11．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+2（答案不唯一） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝2，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
∴c＝2．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝是解题的关键．
12．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 相切 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相切．
【分析】由⊙O的直径为15cm，求得⊙O的半径为7.5cm，而圆心O与直线l的距离为7.5cm，则圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，所以l与⊙O相切，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O的直径为15cm，×15＝7.5（cm），
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，
∴圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，
∴l与⊙O相切，
故答案为：相切．
【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出⊙O的半径长并且证明圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径是解题的关键．
13．（2分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a ＜ b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后比较两个点离直线x＝1的远近得到a、b的大小关系．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴点（3，b）离直线x＝1远，点点（0，a）离直线x＝1较近，
∴a＜b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2分）某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为 200（1+x）2＝320 ．
【答案】200（1+x）2＝320．
【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为x，根据该商店今年8月份及10月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝320，
故答案为：200（1+x）2＝320．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝4cm，CD＝1cm，则轮子的半径为 cm．
【答案】．
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝2cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝2.5；
故轮子的半径为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．（2分）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．在大片的麦田或农田中，由农作物倒伏形成的几何图案被称为“麦田怪圈”．图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图2，成员甲先借助绳子绕行一周画出⊙O，再将⊙O三等分，得到A，B，C三点．接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了监测仪器，若将射线OB绕着点O逆时针旋转，与⊙O交于点P，与弧三角形交于点Q，射线OB的旋转角记为自变量x（单位：°，0≤x＜360），（如图2）．P、Q到监测仪器的距离分别记为y1和y2（单位：m），绘制出两个函数的图象（如图3）．结合以上信息判断，①⊙O的半径为6m；②图3中a的值为270；③当x＝60时，y1取得最大值12；④监测仪器放置在点A处．其中说法中错误的是 ② .（填写序号即可）
【答案】②．
【分析】根据题意找出甲乙对应的图象，然后求得α对应的角度为240°，以及AB＝6，∠AOB＝×360°＝120°，进而求出圆的半径，结合所求对每个选项逐一分析判断即可得出结论．
【解答】解：∵将射线OB绕着点O逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x，成员乙所在的位置为Q，
∴根据图3所示，实线部分图象中距离先保持不变，再下降至0，然后再上升，可判断实线部分为乙的图象．（由于点Q在以A为圆心，AB为半径的上，则AQ的距离保持不变）．
∴当Q点从点B开始逆时针运动时，检测器应该在A点．
故选项④说法正确；
∵点Q从B点运动到A点，运动的角度为个圆周，
∴α＝360°×＝240°．
故②选项说法不正确，此选项符合题意；
由图象3得：AB＝6，可得∠AOB＝×360°＝120°，
连接OA，AB，过点O作OD⊥AB于点D，如图2，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝60°，BD＝AB＝3．
在Rt△BOD中，sin∠BOD＝＝＝6，
∴OB＝6．
即⊙O的半径为6m．
故①选项说法正确；
由图2可知，当射线OB旋转至的中点时，此时点P在直线OA上，y1取最大值，长度为⊙O的直径12m，
此时射线OB转过的角度为60°，即x＝60．
故C选项说法正确；
综上，正确的说法有：①③④，错误的说法是②．
故选：②．
【点评】本题主要考查了利用旋转设计图案，动点问题的函数的图象，圆周角与圆心角的度数，弦心距，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等边三角形．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
【答案】5．
【分析】将x＝a代入方程，得到a2﹣2a＝1，然后整体代入即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×1+3
＝5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．
19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴（ 同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O．
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ 圆的内接四边形对角互补 ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°
【答案】（1）见解析；
（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠AOB＝60°，再根据圆周角定理可得∠AMB＝30°，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得∠ACB＝150°．
【解答】解：如图即为所求．
（2）证明：如图，在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（圆的内接四边形对角互补）．
∴∠ACB＝150°．
故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）见解答；
（3）﹣3＜x＜1．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，3）代入求出a，则可得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画出函数图象；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入得3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
（3）当y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）的两个实数解．也考查了待定系数法和二次函数的性质．
21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝4，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
【答案】2．
【分析】连接AO，BO，由圆周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
在Rt△AOB中，
OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，
∴2OA2＝42，
OA2＝8，
∴OA＝2（舍负），
∴⊙O的半径是2．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，解决问题的关键是由圆周角定理求得∠AOB＝90°．
22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可求解；
（2）选择一个符合条件的m的值，解方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得Δ＝b2﹣4ac≥0，
即（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≤1．
（2）当m＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
注：m值不唯一．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．（6分）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：
y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 w＝﹣2x2+240x﹣5400 ；
（2）求当销售单价为多少元时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w＝﹣2x2+240x﹣5400；（2）1600．
【分析】（1）依据题意，由该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝单个利润×销量，进而列式可以得解；
（2）依据题意，由（1）得解析式，配方成顶点式后，结合自变量的取值范围进行判断可以得解．
【解答】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝（x﹣30）（﹣2x+180），
∴w＝﹣2x2+240x﹣5400．
故答案为：w＝﹣2x2+240x﹣5400．
（2）由题意，∵w＝﹣2x2+240x﹣5400＝﹣2（x2﹣120x+3600）+1800＝﹣2（x﹣60）2+1800，
又30≤x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝60，
∴当x＝50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大＝﹣2 （50﹣60）2+1800＝1600（元）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决问题．
24．（6分）如图，⊙O的半径OC与弦AB互相垂直，垂足为D，连接AC，OB．
（1）求证：2∠A+∠B＝90°；
（2）延长BO交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BA的延长线于点F．若AC∥BE，EF＝4，求∠B的度数及AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）∠B＝30°，AC＝2．
【分析】（1）由圆周角定理得到∠O＝2∠A，即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠O+∠B＝90°
∵∠O＝2∠A，
∴2∠A+∠B＝90°；
（2）解：如图：
∵AC∥BE，
∴∠CAB＝∠B．
∵2∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°．
∵∠B＝30°．
∴∠CAB＝30°
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEB＝90°．
∵EF＝4，
∴BF＝8，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得．
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答．
25．（6分）数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为10dm3，底面为正方形的长方体包装盒（如图1），当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）设长方体包装盒的底面边长为x dm，表面积为y dm2．可以用含x的代数式表示长方体的高为，根据长方体的表面积公式：长方体表面积＝2×底面积+侧面积．得到y与x的关系式： 2x2+ （0＜x≤3）；
（2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）
（3）在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为 2.2 dm时，需要的材料最省．
【答案】（1）y＝2x2+；
（2）28；
（3）作图见解答过程；
（4）2.2．
【分析】（1）根据长方体的表面积公式求解即可；
（2）求出x＝2时，y的值即可；
（3）利用描点法画出函数图象即可；
（4）利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）由题意，y＝2x2+4x×＝2x2+；
故答案为：y＝2x2+；
（2）当x＝2时，y＝8+20＝28.0；
故答案为：28.0；
（3）函数图象如图所示：
（4）观察图象可知，当x约为2.2dm时，需要的材料最省．
故答案为：2.2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了长方体的性质，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当m＝n时，直接写出抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）若m＜n＜4，求t的取值范围．
【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为（0，4），t＝2；
（2）＜t＜2．
【分析】（1）当x＝0时，求得y＝4，即可求得抛物线与y轴交点的坐标为（0，4），二次函数的对称性即可求得t；
（2）再根据m＜n＜4，可确定出对称轴的取值范围．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝4，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，4），
∵点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，m＝n，
∴点（1，m），（3，n）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2；
∴t＝2；
（2）∵m＜n＜4，
∴a+b+4＜9a+3b+4＜4，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴
即＜t＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解．
27．（7分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）依题意补全图形即可；
（2）AF＝CD，证明见解析；
（3）CD+CG＝BC，证明见解析．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）证△EFD≌△DCB（AAS），得DF＝BC，再证AC＝DF，即可得出结论；
（3）连接FG、DG，证△BDE是等腰直角三角形，得∠DEB＝∠DBE＝45°，DG＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝45°，再证△EFG≌△DCG（SAS），得FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，然后证△CFG是等腰直角三角形，得CF＝CG，即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图1；
（2）AF＝CD，证明如下：
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
即∠BDC+∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠BDC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
在△EFD和△DCB中，
，
∴△EFD≌△DCB（AAS），
∴DF＝BC，
∵AC＝BC，
∴AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD；
（3）CD+CG＝BC，证明如下：
如图2，连接FG、DG，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DEB＝∠DBE＝45°，
∵G为BE的中点，
∴DG＝BE＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝∠BDE＝45°，
∴∠DGE＝90°，∠DEB＝∠BDG，
由（2）可知，△EFD≌△DCB，
∴EF＝DC，∠DEF＝∠BDC，
∴∠DEF﹣∠DEB＝∠BDC﹣∠BDG，
即∠FEG＝∠CDG，
在△EFG和△DCG中，
，
∴△EFG≌△DCG（SAS），
∴FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，
∴∠EGF+∠CGE＝∠DGC+∠CGE＝∠DGE＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，
∵CD+CF＝DF，DF＝BC，
∴CD+CG＝BC．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 A1B1 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ 2或3 ；
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
【答案】（1）①A1B1；
②2或3；
（2）b的最大值为，BC＝；最小值为，BC＝．
【分析】（1）①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y＝x+2对称线段，如图，即可求解；
②从图象性质可知，直线y＝﹣x+m与x轴的夹角为45°，而线段A1B1⊥直线y＝﹣x+m，线段A1B1关于直线y＝﹣x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦；线段A3B3＝，⊙O的最长的弦为2，得线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，而线段A2B2∥直线y＝﹣x+m，线段A2B2＝，∴线段A2B2的对称线段线段A2′B2′线段A2B2，且线段A2′B2′＝，平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
（2）先表示出OC＝b，b最大时就是OC最大，b最小时就是CO长最小，根据线段AB关于直线y＝﹣x+b对称线段A′B′在⊙O上，得A′C′＝AC＝3，再由三角形三边关系得A′C﹣OA′≤OC≤A′C+OA′，得当A′为（﹣1，0）时，如图3，OC最小，此时C点坐标为（2，0）；当A′为（1，0）时，如图3，OC最大，此时C点坐标为（4，0），分两种情形分别求解．
【解答】解：（1）①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y＝x+2对称线段，如图，
发现线段A1B1的对称线段是⊙O的弦，
∴线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是A1B1，
故答案为：A1B1；
②∵从图象性质可知，直线y＝﹣x+m与x轴的夹角为45°，
∴线段A1B1⊥直线y＝﹣x+m，
∴线段A1B1关于直线y＝﹣x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦，
∵线段A3B3＝，⊙O的最长的弦为2，
∴线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，
线段A2B2是⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，
而线段A2B2∥直线y＝﹣x+m，线段A2B2＝，
∴线段A2B2的对称线段线段A2′B2′线段A2B2，且线段A2′B2′＝，
平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，
第一种情况：A2′、B2′的坐标分别为（0，1）、（1，0），
此时m＝3；
第二种情况：A2′、B2′的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣1），
此时m＝2，
故答案为：3或2；
（2）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，
当y＝0时，y＝﹣x+b＝0，
解得：x＝b，
∴OC＝b，
b最大时就是OC最大，
b最小时就是CO长最小，
∵线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，
∴线段AB关于直线y＝﹣x+b对称线段A′B′在⊙O上，
∴A′C′＝AC＝3，
在△A′CO中，A′C﹣OA′≤OC≤A′C+OA′，
∴当A′为（﹣1，0）时，如图3，OC最小，此时C点坐标为（2，0），
将点C代入直线y＝﹣x+b中，
﹣×2+b＝0，解得：b＝，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D＝，B′D＝，
∴CD＝3﹣＝，
在Rt△B′DC中，B′C＝＝；
∴当A′为（1，0）时，如图4，OC最大，此时C点坐标为（4，0），
将点C代入直线y＝﹣x+b中，
﹣×4+b＝0，解得：b＝，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D＝，B′D＝，
∴CD＝3+＝，
在Rt△B′DC中，B′C＝＝，
∴b的最大值为，BC＝；最小值为，BC＝．
【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．
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……
﹣3
﹣2
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0
1
……
y
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0
……
x/dm
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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42.0
31.2

28.5
31.3
x
……
﹣3
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0
1
……
y
……
0
3
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3
0
……
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2.5
3
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…
80.5
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28.5
31.3