2025届皖豫天一大联考高中毕业班阶段性测试(三)数学试卷(解析版)

这是一份2025届皖豫天一大联考高中毕业班阶段性测试(三)数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由集合即可得.
故选：B
2. 已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】设,则由可得，
化简得，故的实部与虚部的比值为1，
故选：C
3. 已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由为等差数列，则，，，
，解得或（舍去）.
故选：C.
4. 函数在区间上（ ）
A. 单调递增B. 单调递减
C. 先减后增D. 先增后减
【答案】D
【解析】因即，
设，显然，函数在上单调递减，
又，
由零点存在定理，存在唯一的，使得，
当时，，则，此时在上单调递增；
当时，，则，此时，在上单调递减.
即函数在区间上先增后减.
故选：D.
5. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，即，
即.
故选：A.
6. 若函数在时取得极小值，则的极大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】由函数，求导可得，
由题意可得，则，解得，
所以，则，
，令，解得或，
可得下表：
则函数的极大值为.
故选：D.
7. 若函数在区间上有唯一极值点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数，求导可得，
由题意可得方程在区间上存在唯一解，
由方程，解得，由题意取原点附近相邻两个解，
即当时，；当时，，
①令，解得；②令，无解.
故选：B
8. 在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（ ）
A. 有最大值10B. 有最小值10
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】D
【解析】由，则，即，
，
故，由、都为单位向量，故平分，
故，
则，则，
当且仅当时，等号成立，
即，即有最小值.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（）
A. 与有相同的最小正周期
B. 与有相同的最大值
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 将的图象绕点旋转可得到的图象
【答案】ABD
【解析】对于，和中的均为，
由知，和的最小正周期相同，故A正确；
对于，当时，；
当时，，故B正确；
对于，令得，
的对称轴方程为，
令得，
的对称轴方程为，
和的对称轴不相同，故C错误；
对于D，设的关于点的对称函数为，
则图象上任意一点关于点的对称点在图象上，
，化简得，
图象绕点族转后可得到的图象，故D正确；
故选：ABD.
10. 如图，是边长为1的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ）

A. 的值不可能大于1B.
C. 的最小值为D. 的最大值为1
【答案】BD
【解析】对于A，过点作交延长线于，过点作交于，作图如下：

在平行四边形中，，由，则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C、D，作图如下：

，
在等边三角形中，易知，则，，
设与的夹角为，易知，则，
所以，故C错误，D正确.
故选：BD.
11. 已知数列满足，且则（ ）
A. B.
C. 当时，D.
【答案】ACD
【解析】由可得
；
即，，
所以，
因此，
；
累乘可得；
所以，即，可得，即A正确；B错误；
当时，，所以可得；
又可得，即，可知C正确；
由可得，又，，
因此，
又时，易知，所以，
即可得，即D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，使得，即在上能成立，
即要求在上的最小值.
因在上为增函数，故，
故得，即实数的取值范围为.
13. 如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则______.
【答案】
【解析】由题可知，，所以，
因为
，
即，
又因为，所以.
14. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______.
【答案】
【解析】设，
因为均为上增函数，故为上的奇函数，
又，
由不等式可化为，
即，故，
故的解集中有且仅有2个整数，
故的解集中有且仅有2个整数，设，
则，
则当时，h'x<0；当时，h'x>0，
故hx在0,1上为减函数，在1,+∞上为增函数，
故，
故的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）求数列的前项和.
（1）证明：因为是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，即，
又，所以是首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1）知，
所以，
所以，。
则，
上述两个等式作差可得
，
故.
16. 在中，内角所对的边分别为，已知，且
（1）求；
（2）若的外接圆半径为，周长为，且，求.
解：（1）因为,
故，
所以.
因为，所以，
又，所以.
（2）由正弦定理可知，
因为，所以，
所以.
所以
又，所以，
所以，故.
17. 已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递减，求的取值范围.
解：（1）由题可知，
则，又，
故的图象在点处的切线方程为.
（2）令，
则.
当时，，故在上存在零点，
记其中最小的零点为，则在上恒为正，在上单调递增，
故在上单调递增，
故在上单调递增，不符合题意
当时，在上有，
故在上单调递减，
即在上单调递减.
故在上单调递减，符合题意
故的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）当时，求的零点个数；
（2）设，函数.
（i）判断的单调性；
（ii）若，求的最小值.
解：（1）由题可知，则，
令，可得，
当时在单调递减，
当时在单调递增，
，
又，即在和内各有一个零点，
有2个不同的零点.
（2）（i）由题可知，
则
令，可得或，
当时，，当时，，
在上单调递增，在和上单调递减.
（ii）由，可得是关于的方程的两个不同的实根，
故，即.
故
，
设，
当时，，
为上的增函数，的最小值为，
故的最小值为.
19. 设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.
（1）若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；
（2）若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；
（3）若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.
解：（1）为等积数列，.
；
（2）当时，
是公共积为的等积数列，，
又.
又，
，即原命题得证；
（3）设
是公共积为1的等积数列，且，
对任意的，都存在正整数，使得，
，这项均为中的项，
由题可知，，
必有，
又，
是公比为等比数列.
是公比为的等比数列.f'x
极大值
极小值