2024-2025学年山东省德州市禹城市九年级(上)期中 数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省德州市禹城市九年级(上)期中 数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．
一、选择题：每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故选：A．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
3. 二次函数的图象过点，方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为直线
抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标
∴方程的解为，
故选：B．
4. 定义运算，例如，则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】根据定义得：，
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5. 下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）优弧大于劣弧；（3）圆中90°的角所对的弦是直径；（4）相等的圆心角所对的弦相等；（5）等弧所对的弦相等；（6）平分弦的直径平分弦所对的弧．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误；
在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，所以（2）错误；
圆中90°的圆周角所对的弦是直径；所以（3）错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以（4）错误；
能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；所以（5）正确；
平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，所以（6）错误；
故选：A.
6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：，即．故选：B．
7. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ）
A. 该函数图象开口朝下
B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧
C. 当时，y 随 x 的增大而减小
D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴
【答案】B
【解析】A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意；
B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意；
C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意；
D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意；故选：B．
8. 如图，是的直径，是的弦，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
9. 如图,边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A. B. 1.5C. D.
【答案】A
【解析】连接，
由旋转性质得，，
∴等边三角形，
∴，
∵边长为1的正方形，
∴，
∴，
∴
故选：A．
10. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A. 21B. 22C. 23D. 24
【答案】A
【解析】，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：A
11. 如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】A
【解析】设正方形的边长为a，
时，在上，在上，依题意可知：
设，，
；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为6；
，
解得：（负值舍去）
正方形边长是4，
故选：A．
12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】∵二次函数的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下
把代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线
∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当时，
故④正确的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴,故⑤正确的
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
14. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得，
故答案为：．
15. 如图，四边形是的内接四边形，，则_____．
【答案】
【解析】∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：130．
16. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为________.
【答案】
【解析】抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为，
在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：，
故答案为：．
17. 如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______．
【答案】2032
【解析】是两个不相等的实数，且满足，
是方程的两根，
，，，
．
故答案为：2032．
18. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______．
【答案】①②③⑤
【解析】连接，过点作，垂足为，
由旋转得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
由旋转得：，，
是等边三角形，
，
点与的距离为4；故②正确；
是等边三角形，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，故③正确；
在中，，
故④错误；
如图所示，
将绕点A逆时针旋转60°，使得AB与重合，点O旋转至点．
易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形，
则，故结论⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（共7小题，共78分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），整理得，
配方得，即，
∴，∴，；
（2），整理得，
因式分解得，∴或，∴．
20. 如图三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出绕点O逆时针旋转90°的．
（2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标．
解：（1）如图所示：即为所求
（2）如图所示：即为所求.
21. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
（1）判断的形状；
（2）求证：平分．
解：（1）绕点逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）绕点逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
22. 如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E．

（1）求证：点D为的中点；
（2）若，求．
解：（1）∵是的直径，，
∴，
即点D为的中点；
（2）∵是的直径，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．
（1）求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；
（3）公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．
解：（1）设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得：，
解得，
；
（2）根据题意得：
，
，
∴当时S随x的增大而减小，
∵销售价格不低于22元，不高于32元
时，取最大值，最大值为，
答：第一年年利润的最大值时万元；
（3）由（2）得出
依题意，记扣除捐赠后的利润为元
则
∴，开口向下，对称轴
∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，
∴
∴
24. 半角模型探究
如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
（3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长．
解：（1）逆时针旋转得到，
，，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）设，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
则．
∴；
（3）如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到，
由旋转可得，，，，，
，
，
，
，
点、、三点共线，
在和中，
，
，
，
，
；
∵
∴
则
∴
∴
则的周长为．
25. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点．
（1）直接写出点的坐标 ；
（2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标；
（3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围．
解：（1）如图1，作交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵、B为二次函数与x轴的交点，
∴、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
（2）设抛物线解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴．
（3）∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大．
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大．