济南市历城第二中学2024-2025学年高二上学期第一次调研数学试卷(含答案)

这是一份济南市历城第二中学2024-2025学年高二上学期第一次调研数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知倾斜角为的直线l与直线垂直,则( )
A.B.C.D.
2．,,若则( )
A.6B.7C.8D.9
3．已知点,,直线l过点且与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围( )
A.B.
C.D.
4．在空间四边形ABCD中,、,设,,,若向量,则( )
A.B.0C.D.
5．点P是圆上一动点,过点P向圆作两条切线,设两切线所成的最大角为,则( )
A.B.C.D.
6．在三棱柱中,若是等边三角形,E为的中点,且,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．已知点M,N在圆上,点P在以为圆心,2为半径的圆上,则使得是面积为的等边三角形的点P的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
8．,,函数的最小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线,,( )
A.若,则或2
B.原点O到直线的最大距离为
C.若,则或
D.不过第二象限则
10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数的点M的轨迹是圆,已知点,,M是平面内的一动点,且满足,则下列说法正确的是( )
A.点M的轨迹围成区域的面积为
B.面积的最大值为
C.点M到直线的距离的最大值为
D.若M的轨迹上有四个点到直线的距离为,则实数b的取值范围为
11．如图,在长方体中,,,点P,E分别为AB,的中点,点M为直线上的动点,点N为直线上的动点,则( )
A.对任意的点N,一定存在点M,使得
B.向量,,共面
C.异面直线PM和所成角的最小值为
D.存在点M,使得直线PM与平面所成角为
三、填空题
12．已知经过点,法向量为的平面方程为,现给出平面的方程为,平面的方程为,则平面、成角的余弦值为________.
13．设,若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A,B不重合）,则的最大值为________.
14．在三棱锥中,且.记直线,与平面所成角分别为,,已知,当三棱锥的体积最小时,的长为________.
四、解答题
15．已知的顶点,边AB上的中线CM所在直线方程为,边AC的高BH所在直线方程为,求:
（1）B点和C点的坐标:
（2）入射光线经过点,被AB上的中线CM反射,反射光线过,求反射光线所在的直线方程.
16．如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为线段AB,的中点.
（1）求F点到的距离
（2）求点F到平面的距离:
（3）若平面与平面交于直线l,求二面角的余弦值.
17．《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,在阳马中,侧棱平面,且,E为BC的中点,F为DP上的点,.
（1）当时,证明:平面.
（2）判断是否存在,使得EF与平面PCD所成角的正弦值为,若存在,求出,若不存在,请说明理由.
18．已知直线,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
（1）求圆C的方程;
（2）直线与圆C交于不同的M,N两点,且,求直线的斜率;
（3）过点的直线与圆C交于A,B两点（A在x轴上方）,问在y轴正半轴上是否存在定点N,使得y轴平分?若存在,请求出点N的坐标:若不存在,请说明理由.
19．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差:在平面上任给两个不同心的圆,则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线,这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆
（1）求圆C与圆M的根轴l;
（2）已知点P为根轴l上的一动点,过点P作圆C的切线,,切点为A,B,当最小时,求直线的方程;
（3）给出定点,设N,Q分别为根轴和圆M上的动点,求的最小值及此时点N的坐标.
参考答案
1．答案：C
解析：直线的斜率为,而直线l与直线垂直,
且为直线l的倾斜角,于是得,而,
则,计算可得.
故选:C.
2．答案：C
解析：根据,则存在一个常数使得,
所以可得,解之可得,所以.
故选:C
3．答案：D
解析：点,,,
直线的斜率,直线的斜率,
直线l过点且与线段AB有公共点,则直线l的斜率满足或,
即或,所以直线l的斜率的取值范围为.
故选:D.
4．答案：C
解析：
,
故,,,所以.
故选:C
5．答案：C
解析：由圆可得圆心,半径为2,
由圆,可得圆心,半径为1,
,即两圆相离,
示意图如下,当P为线段与圆C的交点时,两切线所成角最大,
此时,,则,
所以,.
故选:C
6．答案：C
解析：由题设,易知四边形,都是菱形,且,E为的中点,
G,F分别是的中点,且,
则,,,且,
又由三棱柱性质可得,故异面直线与所成角,即为,所成角,
由
,又是等边三角形,
所以
,即,
在中,故.
显然异面直线与所成角余弦值为.
故选:C
7．答案：A
解析：设中点为E,由正三角形面积公式可知,得,
由正三角形及圆的对称性可知,,,则O,P,E三点共线,
而,,
因为点P在以为圆心,2为半径的圆上,由圆的位置关系可知,
当且仅当时取得,此时,即满足条件的点P只有一个.
故选:A
8．答案：C
解析：设点,和直线,A,B到l的距离分别为,,
易知,显然.
当且仅当A,B重合时取得等号.
故选:C
9．答案：BC
解析：对于A,若,则且,解得,故A错误,
对于B,由于变形为,故其恒过点,因此原点O到直线的最大距离为,B正确,
对于C,若,则,解得或,C正确,
对于D,若不过第二象限,当无斜率时,,此时直线为,满足不经过第二象限,故a可以为0,故D错误,
故选:BC
10．答案：ACD
解析：对于A,设,因为,所以,
整理得即,
所以点M的轨迹是圆心为,半径为的圆,
所以点M的轨迹围成区域的面积为.故A正确;
对于B,,即,
所以圆心到直线的距离为,
所以点M到直线的距离的最大值为,
所以面积的最大值为,故B错误;
对于C,因为圆心到直线的距离为,
所以点M到直线的距离的最大值为,故C正确;
对于D,圆心到直线的距离为,
要使M的轨迹上有四个点到直线的距离为,
则,解得.故D正确.
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,,,
故,设,,,,
而,故即,
故,,
若,则即,
当时,不存在,故当N为中点,不存在M,使得,故A错误.
连接,则,由长方体可得,故,
故,,即,,共面,故B正确.
,故
,
当时,,此时;
当时,,
令,设,则,
故,
所以异面直线PM和所成角的范围为,故直线PM和所成角的最小值为,
故C正确.
平面的法向量为,
故,
若直线PM与平面所成角为,则,
故,所以或,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：0
解析：由定义可得:平面:的法向量为,
平面:的法向量为,
所以两个向量的夹角余弦值为:,
所以平面所成角的余弦值0.
故答案为:0.
13．答案：
解析：可以转化为,故直线过定点,
可以转化为,故直线过定点,
由和满足,
所以两条直线互相垂直,可得,
所以,可得,
设为锐角,则,,
所以,
当时,取最大值.
故答案为:.
14．答案：2
解析：设点P在平面内的投影为,如下图所示:
由直线,与平面所成角分别为,,且,则,
可得,于是,
以为x轴,线段的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如下图所示:
令,由,,可得,,,
则,化简可得,
因此点在以为圆心,为半径的圆上,
当最小时,最小,即三棱锥的体积最小,
此时,,而,
易知,所以.
故答案为:2
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）直线和直线垂直,故设直线方程为,
将代入得,,解得,
故直线方程为,
联立,解得,故,
设,则,
将代入中得,
又在直线上,故,
联立与,解得,
故;
（2）设关于中线CM对称点坐标为,则反射光线即为所在直线,
其中,解得,故,
故反射光线方程为,即.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）建立空间直角坐标系,以D为原点,为x轴,为y轴,为z轴.
已知正方体棱长为2,则,,.
可得,.
设点到的距离为d,根据向量积公式,
先求在上的投影,.
计算,,.
则.
根据距离公式,.
（2）先求平面的法向量.已知,,,
则,.
设,由且,
可得.令,解得,,所以.
又,点F到平面的距离.
计算,.所以.
（3）求二面角的余弦值
因为平面与平面交于直线l,,.
根据正方体性质,可知平面的法向量可取.
已求得平面的法向量.
设二面角为,则.
计算,,.
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）存在,使得EF与平面PCD所成角的正弦值为,理由见解析
解析：（1）证明:因为侧棱平面,底面为长方形,
以A为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以,,,,,,
又因为,E为的中点,F为上的点,,即F为上的中点,
所以,,,,
又因为侧棱平面,平面,所以,
又因为底面为长方形为,有,
,平面,,所以平面,
所以为面的法向量.
又因为,所以,
又平面,所以平面.
（2）存在,使得EF与平面PCD所成角的正弦值为.
理由如下:
设,所以,
因为,所以,,即
所以,
设平面的法向量为,由,,
则有,解得,
令,所以,
所以,
整理得,,解得,,
故存在,使得EF与平面PCD所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）设圆心,则,
解得或（舍）,故圆C的方程为.
（2）由题意可知圆心C到直线的距离为,
则有,解得.
（3）当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,,
由得,
若y轴平分,则,即,即,
即,即,即,
当时,上式恒成立,即;
当直线的斜率不存在时,易知满足题意;
综上,当点N的坐标为时,y轴平分.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）的最小值为,此时.
解析：（1）由题圆C的圆心为,半径为;圆圆心为,半径为,
设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点,
则由题可得,即,
整理得,即圆C与圆M的根轴l为直线.
（2）由题意可知且,,,
设与相交于点H,
则,
又,
所以,所以取得最小值时即为取得最小值时,
又,所以取得最小值时亦即取得最小值时,
而取得最小值时,且该最小值为圆心C到根轴l的距离为,
此时即,
联立,故此时,
所以此时中点坐标为,
所以以线段为直径的圆的方程为,即,
则是该圆与圆C的公共弦,所以两圆方程相减即为直线的方程为:即.
（3）设关于根轴对称的点为,
则,故,
则由三角形两边之和大于第三边可得,
连接,则此时与圆M和根轴l相交的点Q和N使得最小为,
且此时即,
联立,即此时,
所以的最小值为,此时.