天一名校2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷及参考答案

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，.
故选A.
2．已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．7D．1
【答案】C
【解析】因为，又，所以，
所以，解得，
故选.
3．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
直线过圆内定点，斜率可正可负可为0，
ABD选项都有可能，C选项不可能.
故选C.
4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，
则四边形为平行四边形，
由椭圆的定义得，解得，
所以椭圆的短半轴长.
故选D.

5．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，∴，
设直线与所成角为，则，
即异面直线与所成角的余弦值为.故选A.
6．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于点满足关系式，且，
可知在线段上移动，且
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选A.

7．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据已知条件作出图形，如图所示
由题意知，又，所以.
显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，Ax1,y1，，
由，得，显然，所以.
显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为，
由，得，显然，所以，
又，所以，设，同理可得，
.
故选C.
8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题，，
因为，则，即，
化简得，即动点在直线上，

圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以到圆距离的最小值是.
故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A．CC1⊥BDB．
C．夹角是60°D．直线与直线的距离是
【答案】ABD
【解析】如图，设，
则

对于A，因，
则，故A正确；
对于B，因，，
则，故B正确；
对于C，，则，
且
设夹角为，则，因，则，即C错误；
对于D,在平行六面体中，易得,
则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.
因，
且，
则，故D正确.
故选ABD.
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的虚轴长为B．
C．的周长的最小值为16D．当时，的内切圆面积为
【答案】BCD
【解析】对于A:因为，所以虚轴长为，A错误；
对于B:因为双曲线渐近线方程为，倾斜角分别为，
过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出B正确；
对于C:的周长为,
结合双曲线的定义，
设双曲线的右焦点为，，
当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，则
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为
联立，消去，得，
又，故或,
而，
所以当直线AB与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，的周长最小值为，故C正确；
对于D: 当时, 设直线AB的方程为
联立，消去，得，
，当时,A点坐标 ，
，
的周长，
设的内切圆半径为r，则，解得，
因此的内切圆面积为，D正确.
故选BCD.
11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5B．的最大值为
C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
【答案】2
【解析】解法一：如图，由可知，
设，由定义
，
的面积为.
解法二：如图，的面积为.
故答案为：2.
13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 .

【答案】
【解析】如图，取的中点，连接AE交于点．

因为M，N分别是的中点，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面EMN，所以平面平面，
点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，．
故答案为：.
14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，为直线上的任意一点，
过圆心作，连接，由，
可得，
由，当共线时取等号，
又是的中点，所以，
所以.
则此时，
的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知直线：，：，且满足，垂足为C.
（1）求m的值及点C的坐标.
（2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求△ABC的外接圆方程.
【解析】（1）解：显然，可得，，-----------------------------------------2分
由，可得，即，解得，----------------------------3分
所以直线：，直线：，------------------------------------------------------4分
联立方程组，解得，所以点．------------------------------------------6分
（2）解：由直线：，直线：，可得，，------------8分
所以△ABC的外接圆是以为直径的圆，-----------------------------------------------------------10分
可得圆心，半径，---------------------------------------------------------------------12分
所以△ABC的外接圆方程是．------------------------------------------------------13分
16．（15分）
已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【解析】（1）抛物线的焦点为，----------------------------------------------------------------1分
由题意得，解得，，--------------------------------------------------------------4分
所以椭圆的方程为.-------------------------------------------------------------------------------5分
（2）直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，-----------------------------------------------------7分
联立，
消去得：，-------------------------------------------------9分
设，
因为，即，--------------------------------------------------------------------10分
所以，解得，
此时满足题意----------------------------------------------------------------------------------13分
所以所求直线的方程为.------------------------------------------------------------------15分
17．（15分）
如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，，，求点E到平面的距离．
【解析】（1）因为为直三棱柱，所以，
又D，E，分别为AB，BC的中点，所以，-----------------------------------------------2分
所以，----------------------------------------------------------------------------------3分
又平面，平面，--------------------------------------------------------------4分
所以平面.--------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为为直三棱柱，且，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
-----------------------------------------7分
设，且，则，
则，，------------------------------------------------------------------8分
由可得，即，且，解得，------------------------9分
设，则，即，-------------------------------10分
设平面的法向量为，
则，解得，取，则，
所以平面的一个法向量为，----------------------------------------------------------------12分
又，即，
所以点E到平面的距离.------------------------------------------------15分
18．（17分）
已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）.

（1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；
（2）若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长.
【解析】（1）由可知圆心坐标为0,1，
因为抛物线的焦点与圆心重合，---------------------------------------------------------------2分
所以，------------------------------------------------------------------------------3分
所以抛物线的方程.-----------------------------------------------------------------------5分
（2），消去并整理方程可得，------------------6分
解得，---------------------------------------------------------------------------7分
抛物线和圆恒有一个公共点，且恒成立，
所以令2p-2≧0，解得.----------------------------------------------------------------------9分
（3）设，直线的方程为，原点到直线的距离为，
由消去可得，其中，
，---------------------------------------------------------------------11分
所以，
则，①--------------------------------------------------------------------------13分
因为
，②-------------------------------------------15分
由①②解得
所以----------------------------------------------------17分
19．（17分）
在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；
（2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．
【解析】（1）直线是两个平面与的交线，
所以直线上的点满足，-------------------------------------------------------------------2分
不妨设，则，
不妨设，则，
直线的一个方向向量为：；------------------------------------------4分
（2）（ⅰ）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，
即为三个坐标平面与转成的四面体，--------------------------------------------------5分
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，-------------------------------------------------------6分
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，--------------------------------------------------------------8分
为截去三棱锥所剩下的部分，
的体积，
三棱锥的体积为，-----------------------------------------9分
的体积为，
由对称性知．--------------------------------------------------------------------10分
（ⅱ）①记集合中所有点构成的几何体为，如图，
其中，正方体即为集合所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为2，
，------------------------------------------------------------------------------12分
的体积．----------------------------------------------------13分
②由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为，
面方程为，由题干定义知其法向量为，----------------------15分
，
由图知两个相邻面所成的角为钝角，
所成二面角的余弦值为：．------------------------------------------------------------------17分