青海省海南州2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题

这是一份青海省海南州2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题，共9页。试卷主要包含了下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在三棱柱中，（ ）
A．B．C．D．
3．平行线与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（ ）
A．，，B．，b，
C．，，D．，，
5．下列命题正确的是（ ）
A．一条直线的方向向量是唯一的
B．若直线l的方向向量与平面的法向量平行，则
C．若平面的法向量与平面的法向量平行，则
D．若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则
6．若方程表示一个圆，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知向量，，则向量b在向量a上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．点在圆的____________．（请从“外部”“内部”“圆周上”中选择恰当的填入横线）
13．过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为____________．
14．在空间直角坐标系中，点，，均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上，则球的表面积为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知直线，直线．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的值．
16．（15分）
已知圆W经过，，三点．
（1）求圆W的标准方程；
（2）判断圆与圆W的位置关系．
17．（15分）
如图，在五棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（17分）
已知圆（为常数）．
（1）当时，求直线被圆C截得的弦长．
（2）证明：圆C经过两个定点．
（3）设圆C经过的两个定点为P，Q，若，且，求圆C的标准方程．
19．（17分）
如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，P为底面内一动点（包括边界），且满足．
（1）是否存在点P，使得平面？
（2）求的取值范围．
（3）求点P到直线的距离的最小值．
海南州高二期中质量检测
数学试卷参考答案
1．B直线的斜率为，所以倾斜角为．
2．C．
3．A由平行线间的距离公式可得所求距离．
4．D因为，所以，，共面；
因为，所以，b，共面；
因为，所以，，共面；
因为不存在x，y，使得，所以，，不共面．
5．B一条直线的方向向量不唯一，A错误．若直线l的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确．若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误．若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误．
6．D依题意可得，则，则，则，解得．
7．A向量b在向量a上的投影向量为．
8．C设点C关于l的对称点为，则，解得，即，所以．故的最小值为．
9．BD当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则，解得，则直线l的方程为，即．
10．ABD连接，，（图略）．易得，因为．
11．ABD由，得，则曲线C表示圆的上半部分．直线过定点．当直线过点时，；当直线与圆相切时，，解得或．由图可知，k的取值范围是．
12．外部因为，所以点在圆C的外部．
13．根据题意可得，解得或．当时，点A，B重合，不符合题意，舍去．当时，经验证，符合题意．
14．由，，得，则，所以为直角三角形，则是外接圆的直径，即是球的直径．因为，所以，得球的半径为，故球的表面积为．
15．解：（1）因为，所以，3分
整理得，
解得或．5分
当时，，，，重合；7分
当时，，，符合题意．
故．9分
（2）因为，所以，11分
解得或．13分
16．解：（1）设圆W的方程为，2分
则，解得，5分
故圆W的方程为，标准方程为．8分
（2）圆W的圆心为，半径为5，9分
圆C的圆心为，半径为3．10分
设两圆圆心之间的距离为d，则．13分
因为，所以圆C与圆W相交．15分
17．（1）证明：因为，，，，
所以，，2分
则，，4分
因为，平面，平面，所以平面．6分
（2）解：根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，7分
则，．8分
易得平面的一个法向量为，9分
设平面的法向量为，
则，11分
可取．12分
设平面与平面的夹角为，13分
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．15分
18．（1）解：当时，圆，1分
此时，圆C的圆心为，半径，3分
则圆心C到直线的距离，4分
所以直线被圆C截得的弦长为．5分
（2）证明：由，得，7分
令，得，解得或，9分
所以圆C经过两个定点，且这两个定点的坐标为，．10分
（3）解：（方法一）设的中点为N，则点N的坐标为．11分
因为，所以，12分
所以，14分
解得，15分
所以圆C的标准方程为．17分
（方法二）因为，所以，13分
解得，15分
所以圆C的标准方程为．17分
19．解：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，．1分
设，x，，则，．3分
因为，所以，即．4分
因为，所以，即，．5分
（1）设平面的法向量为，因为，，
所以，令，得，7分
而，令，得，
所以存在点P，使得平面．9分
（2）因为，且，所以．12分
（3）（方法一）因为，，
所以在上的投影向量的模为．14分
设点P到直线的距离为d，
则，16分
所以当时，点P到直线的距离最小，最小值为．17分
（方法二）P的轨迹的方向向量为，13分
P的轨迹经过点A，设，的公垂线的方向向量为．
因为，
所以，令，得．15分
因为，所以点P到直线的距离的最小值为．17分