【湖北卷】湖北省武汉市江岸区2024-2025学年高三上学期11月调研考试（11.14-11.15）数学试卷

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8 ．D
解：如图所示：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
B
B
A
D
D
AD
BD
BCD
F1F2
设椭圆与双曲线的焦距为
, 1
= 2c | PF
= t , 由题意可得
:t + c = 2a1 ,t - c = 2a2
:t = 2a1 - c, t = 2a2 + c ， :2a1 - c = 2a2 + c ，即 a1 - a2 = c
= 1 ，即e1 =
由e2 > 1可知0 < < 1，令x = ， :y = x2 + x ∈ 所以e2 - e1 > ，故选 D.
11．BCD
2 2
解：A 选项： 由椭圆方程 = 1 ，所以a2 = 8 ，b2 = 4 ，所以c2 = a2 -b2 = 4 ， 所以 △F1PF2 的面积为S = b2 tan = 4 ，故 A 错误；
B 选项：当PF1 丄 F1F2 或PF2 丄 F1F2 时 △F1PF2 为直角三角形，这样的点P 有 4 个，
设椭圆的上下顶点分别为S ，T ，则 = 2, : , 同理 ， 知上F1SF2 = 上F1TF2 = 90。，所以当P 位于椭圆的上、下顶点时 △F1PF2 也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点P 有 6 个，故 B 正确；
C 选项： 由于PF1 - 2PF2 = 2a - PF2 - 2 PF2 = 4 2 - 3 PF2 ，
所以当PF2 最小即 = a - c = 22 - 2 时， PF1 - 2PF2 取得最大值6 - 2 · , 故 C 正确；
D 选项：因为PF1 + PM = 2a - PF2 + PM = 4 2 + PM - PF2 ，
又 则 PF1 + PM 的最大、最小值分别为和
当点P 位于直线MF2 与椭圆的交点时取等号，故 D 正确.
故选：BCD
14 ． [5, +∞)
解：由题意，知2x3 - 2mx + m ≤ -3x2 ，即2x3 + 3x2 ≤ m(2x -1) .
因为 ，所以m ≥ 在 上有解，只需m ≥ min .
设 对函数h (x ) 求导，
所以函数h (x )在[1, +∞) 上单调递增，所以h (x)min = h (1) = 5 ，所以m ≥ 5 . 故答案为： [5, +∞) .
15 ．解（1）在 △ABC 中， 由已知可得b > a > c ，故由sin C = ，可得cs C = . 由已知及余弦定理，有c2 = a2 + b2 - 2ab csC = 13 ，所以c = · ,
由正弦定理 得sin A = 所以， c 的值为 ， sin A 的值为 .
（2）设BC 边的中点为D ，在 △ACD 中， cs C = ，由余弦定理得：
16 ．解（1） 由已知，可设抛物线的方程为y2 = 2px(p > 0)，
双曲线的标准方程为
把点M(1, 2) 代入抛物线方程，求得p = 2 ，
: 抛物线的方程为y2 = 4x ，焦点坐标为F1 (1, 0) .
则对于双曲线，右焦点坐标为F1 (1, 0) ，则另一个焦点坐标为F2 (-1, 0) ，故c = 1， 又M(1, 2) 在双曲线上，根据双曲线的定义知，
2a = MF1 - MF2 = ·22 + 22 - ·、02 + 22 = 2 ·i2 - 2 ， :a = · -1 ， a2 = 3 - 2 ·i2 ，b2 = c2 - a2 = 2 · - 2 .
故双曲线的标准方程为22-2 = 1 .
（2） 由题意可得， AP 的中点为C ， l 的方程为x=n ，以线段AP 为直径的圆C 交 l 于D 、E 两 个点，DE 的中点为H ，则 CH 丄 l .
设 A(x1, y1 ) ，则 C (|( , ), ，D (x2, y2 ) ， x2 = n ，H (|(x2 , ), ，
因为， △CHD 为直角三角形，且上CHD = ， CD2 = CH2 + HD2
所以， DH |2 = DC |2 - | HC |2 = + 3]2 = x1 - n2 + 3n ，
显然，当n = 2 时， DH2 = -4 + 6 = 2 为定值.
所以，弦长为DE = 2 DH = 2 · 为定值.
故存在垂直于x 轴的直线l （即直线DE ），被圆截得的弦长为定值， 直线l 的方程为x = 2 .
17 ．解（1）连接BC1 ，交B1C 于点N ，连接NE ，
因为侧面BCC1B1 是平行四边形，
所以N 为B1C 的中点，又因为点E 为线段 AC 的中点， 所以NE//AB1 ，
因为 AB1 丈 面BEC1 ， NE 面BEC1 ， 所以 AB1 // 面BEC1 .
（2）连接 A1C ， A1E ，因为上A1AC = ， AC = AA1 = 2 ，
所以△AA1C 为等边三角形， A1C = 2 ，
因为点E 为线段AC 的中点， 所以A1E 丄 AC ，
因为侧面 ACC1A1 丄 底面 ABC ，平面 ACC1A1 ∩ 平面 ABC = AC ， A1E 平面 ACC1A1 ， 所以 A1E 丄 底面ABC ，
过点E 在底面 ABC 内作EF 丄 AC ，如图以E 为坐标原点，分布以E-- ，E-- ，E--A 的方向为x, y, z
轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， C1 (0, 2, ·i3 )， 所以
设平面BEC1 的法向量为预=(x,y, z)，
则 ，令x = 1 ，则y = , z = -2 ，
所以平面BEC1 的法向量为 = (1, ·i3, -2)，
又因为平面 ABE 的法向量为 = (0, 0, 1)，
经观察，二面角 A - BE - C1 的平面角为钝角，
所以二面角 A - BE - C1 的余弦值为- .
18 ．解（1）当k = 2 时， f (x) = x -1- 2ln x ， (x > 0) ，
所以 所以切线的斜率为f,(1) = -1，
又因为f (1) = 1-1- 2ln1 = 0 ，
所以曲线f (x)在x =1 处的切线方程为y = -(x -1) ，即y = -x +1 .
答案第5页，共 7页
因为f, ,k ≠ 0 ， 当k < 0 时， f,
所以f (x ) = x -1-klnx 在(0, +∞) 上单调递增，
又因为f(|( ), = - +kln 2 < 0 ，与f (x ) ≥ 0 不符； 当k > 0 时， 由f, 0 得x > k ，
所以f (x ) = x -1-klnx 在(0, k) 上单调递减，在(k, +∞) 上单调递增.
所以f (x ) ≥ f(k) = k-1-kln k ，所以k-1-kln k = 0，
设g(x) = x -1 - x ln x (x > 0) ， 则g,(x) = 1- (1+ ln x) = -ln x ， 由g ,(x) > 0 ，可得0 < x < 1，
所以g(x) = x -1 - x ln x 在(0,1)上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减， 所以g (x ) ≤ g(1) = 1-1-ln1 = 0 ，
所以k-1-klnk = 0 有唯一解，且k = 1 .
（3） 由（2）知当x > 0 时， f (x) = x -1 -ln x ≥ 0， 当且仅当x = 1 时， f (1) = 0 .
所以当x > 0 且x ≠ 1 时， f (x ) = x -1-ln x > 0 ， 则x -1 > ln x .
取x = 1+ 所以 ，
所以ln(1 + ) < ，ln(1 + ) < ， ⅆ , ln(1 + ) <
2 2 2 2 2 2
所以ln(1 + 1) + ln(1 + + …+ ln(1 + 1n) < 1 + + …+ .
1
所以(1 + 1)(1 + 12 ) …(1 + 1n) < e 1- 2n < e
所以
2 2 2
答案第6页，共 7页
于是对于任意正整数
只需e ≤ m ，又因为m ∈ Z ，所以m ≥ 3 ， 则 m 的最小值为3 .
19．解（1）因为 f (x ) = cs |(( + x,) + cs (-x ) = - sin x + cs x ，所以f (x) 的互生向量-M--→ = (-1, 1) .
（2） 由题意可得3 sin x - cs x = 2 = 2 sin 所以
令2kπ - ≤ 2x - ≤ 2kπ + , k ∈Z ，解得 ≤ x ≤ kπ + ,k ∈ Z ， 因为 所以0 ≤ x ≤ ,
所以函数y = f (2x)在x 上的严格增区间为 .
（3） 由题f (x) = 2 sin x ，则g (x ) = f (x )+ 2 ·i3 csx -k = 2 sin x + 2 csx -k ，
若函数g(x)在[0, 2π ]上有四个零点，则k = 2 sin x + 2·、i3 csx 在[0, 2π ]上有四个实数根，
则函数h (x ) = 2 sin x + 2csx 与y = k 在[0, 2π ]上的图象有四个交点，
因为h (x ) = 2 sin x + 2 csx = { 2 sin x + 23 cs x, 0 ≤ x ≤ 2 或 2 ≤ x ≤ 2 π , 2 sin x - 2 cs x π < x < 3π
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知 k 的取值范围为(2, 2 ·i3 ) (2 ·, 4 ).