安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.
1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）
A.点A和点B关于x轴对称B.点A和点B关于平面对称
C.点A和点B关于y轴对称D.点A和点B关于平面对称
2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（ ）
A.1B.0C.-1D.-2
3.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点（0，2），则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）
A.B.
C.D.
4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A.2B.4C.D.
7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ）
A.B.C.D.
8.已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则或
B.若，则
C.若直线不经过第四象限，则
D.若直线与x轴负半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则面积的最小值是20
10.已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ）
A.离心率B.的周长与点M的位置无关
C.D.直线与直线的斜率之积为定值
11.如图，正方体的棱长为2，P为上底面内部一点（包括边界），M，N分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.当直线和直线所成的角是30°时，点P的轨迹长度是
B.若平面，则的最小值为
C.若，则直线和底面所成的最大角是45°
D.平面被正方体所截的截面形状是六边形
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________.
13.已知实数x，y满足，则的取值范围为_________.
14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.
（1）与直线：垂直；
（2）两坐标轴上截距相反.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M，N分别为，的中点，，.
（1）求证：异面直线和垂直；
（2）求点A到平面的距离
17.（15分）
已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点.
（1）若弦的长度为，求直线的方程；
（2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
18.（17分）
如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
19.（17分）
已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4.
（1）求E的标准方程；
（2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程；
（3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）
2023级高二上学期11月期中考
数学（人教A版）参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1.B已知点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A和点B关于平面对称.
故选B.
2.D由题意得，，即，所以，解得.故选D.
3.A由题意得，所求直线的斜率为，且与y轴交于点（0，2），则所求直线的方程为，即.故选A.
4.C由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.
5.A向量在向量上的投影向量为.故选A.
6.B设，，则，将A，B的坐标代入椭圆方程得：
，，两式相减，得：，
变形为，
又直线的斜率为，所以，即，
因此椭圆的焦距为，故选B.
7.D由题意设，，，
由得：，
化简得.
∵，∴当时，面积最大，
此时不妨设，则，.
∴.故选D.
8.C根据对称，不妨设，.
由题意得，，，则离心率，
左准线方程为，所以，
因为，所以由角平分线定理得，即，
解得，所以.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD若，则，解得或，经检验时，这两条直线重合，故A错误；
若，则，解得，故B正确；
若直线：不经过第四象限，则，解得，故C错误；
，，则，解得，
，令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选BD.
10.BCD由题意得，，，，则离心率，故A错误；
∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合），∴，故B正确；
，即，故C正确；
不妨设，，，则，
所以，故D正确.故选BCD.
11.AB对于A，易得，在中，，，则，
所以点P的轨迹长度是，故A正确；
对于B，如图1，分别取棱和的中点H，K，连接，，，，
易证平面平面，若平面，则点P在线段上运动，
故的最小值即到的距离，即，故B正确；
对于C，由得点P在线段上，过点P作底面，连接，所以为直线和底面所成的角，则，当最大时最小，易得点Q在线段上，故，，则直线和底面所成的最小角是45°，故C错误；
对于D，如图2，延长，分别交，的延长线于点G，L，连接，，分别交，于点V，R，则平面被正方体所截的截面是五边形，故D错误.故选AB.
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
由题意得，的中点为，，
则线段的垂直平分线为，即，
联立，解得，
即，所以该圆的半径为.
13.
因为，所以，其表示为圆的上半部分.
设半圆上一动点，表示的几何意义为点P与点连接的直线的斜率.
当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，
设直线的方程为，即，所以，
解得或（舍去），则直线的斜率的最大值为；
当点P为（2，1）时，则直线的斜率取最小值，为的取值范围为
综上，解得.
14.
，即，
又，则，即，即，
解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（1）因为，所以，
则直线的方程为，即.
（2）当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，
∴，即.
当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，∴，即.
综上，直线的方程为或.
16.（15分）
（1）以为坐标原点，，，分别为x，y，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，.
易得，，
所以，
所以异面直线和垂直.
（2）易得，.
设平面的法向量为，则，
即，令，则.
因为，所以点到平面的距离为.
17.（15分）
（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨得，，则，与题意不符，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由弦长公式得圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故直线的方程为或.
（2）当直线轴时，直线的方程为，
不妨得，，此时x轴平分.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，.
联立，得，，
所以，.
若x轴平分，则，
即，，，，
解得.
综上，当点Q为（4，0）时，能使得x轴平分恒成立.
18.（17分）
（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E.
因为，，所以，，，
因为，，
所以
，
即，
所以，所以.
因为，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以.
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
19.（17分）
（1）由题意得，，所以.
因为短轴长为4，所以，解得，所以，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，.
当直线的斜率不存在时，不妨得，，
此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，
则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在.
设直线的方程为，，，
联立，消去y得，，
且，.
因为以为直径的圆经过点，所以.
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即，
即直线的方程为或.
（3）由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为，
设，，，，
联立，
消去得，，
所以，所以，，
即.
因为，所以，则，
记的中点为，则.
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的面积最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
A
B
D
C
题号
9
10
11
答案
BD
BCD
AB