甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

这是一份甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下四个图形中属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
3.如果将方程配方成的形式，则的值为( )
A. B. 10C. 5D. 9
4.如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A.
B.
C.
D.
5.函数的图象经过点，则m的值为( )
A. 1B. 7C. 5D. 4
6.关于函数的图象和性质，下列说法错误的是( )
A. 函数图象开口向上B. 当时，y随x的增大而增大
C. 函数图象的顶点坐标是D. 函数图象与x轴没有交点
7.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降，那么水面宽度为
A. 3B. 6C. 8D. 9
8.如图，将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，，D在BC上，且BD：：连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转得到线段AE，连接BE，则的面积是( )
A. B. C. D. 3
10.已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若m是方程的根，则的值等于______.
12.非零实数a，满足，，则的值是______.
13.如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则______秒后，的面积等于
14.将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为______.
15.二次函数经过点，两点，则关于x的一元二次方程的解是______.
16.如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是______.
17.某汽车刹车后行驶的距离单位：米关于行驶时间单位：秒的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是______.
18.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2024次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为______.
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题6分
如图，三个顶点的坐标分别为，，
经过平移得到，其中内任意一点平移后的对应点，画出平移的；
画出绕点O逆时针旋转后的
求平移到的平移距离的长.
20.本小题8分
解方程：
；
21.本小题6分
某社区组织一次排球比赛，规定每两个队伍之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天举行3场比赛，应邀请多少支球队参赛？
22.本小题6分
已知关于x的一元二次方程求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.
23.本小题6分
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
求m的取值范围；
若方程的一个根是，求方程的另一个根.
24.本小题8分
如图为抛物线，图象经过点直线与抛物线交于B，C两点，点A，B在x轴上.
求抛物线与直线的函数解析式；
求的面积.
25.本小题8分
如图，在中，，在BC上截取，连接AD，在AD右侧作交BD于
若，求CE的长；
如图，M、N分别为AB和AC上的点，且，连接EM、DN，若，求证：
26.本小题8分
如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，连接CD，
求证：；
连接DE，若，求的度数.
27.本小题10分
如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接
求此抛物线的解析式；
已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：
根据中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2.【答案】B
【解析】解：含2个未知数，不是一元二次方程；
B.是一元二次方程；
C.的分母中含未知数，是分式方程，不是一元二次方程；
D.的最高次数是1，不是一元二次方程；
故选：
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
3.【答案】A
【解析】解：，
配方，得，
由完全平方公式得，
所以，，
故选：
先移项，再添项配方得到，求出，，再代入求出答案即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，
根据题意知：
故选：
设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：函数的图象经过点，
，
故选：
将点代入计算即可求出m的值．
本题考查了查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、可以判断出图象的开口向上，故此选项正确，不符合题意；
B、见函数化为顶点式可得：的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意；
C、由B项结果可得，顶点坐标是，故此选项正确，不符合题意；
D、当时，，方程有两不等根，故与x轴有两个交点，故此选项错误，符合题意；
故选：
根据从开口方向，顶点坐标，增减性等方面逐个分析即可．
本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练运用以上知识点．
7.【答案】B
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为，
设顶点式，把A点坐标代入得，
抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
水面宽度为
故选：
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：由旋转的性质得，，
，
故选：
由旋转的性质得到，，根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：线段AD绕点A顺时针旋转得到线段AE，
，，
，
在中，，，
，，
，
≌，
，，
，
，BD：：3，
，，
，
故选：
根据旋转的性质得出，，再根据SAS证明≌得出，，得出，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据SAS证明≌是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①由图可知，抛物线开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误．
②由图可知，二次函数与x轴有两个交点，故，那么②正确．
③由图可知，当时，，那么③错误．
④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确．
综上：正确的有②④，共2个．
故选：
根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数判断即可．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点，时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】解：将代入原方程得：，
，
原式
故答案为：
将代入原方程，可得出，再将其代入原式中，即可求出结论．
本题主要考查一元二次方程的根以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知：a、b是方程的两根，
，，
，
，
故答案为：
由题意可知a、b是方程的两根，由根与系数的关系可得，，再由完全平方公式可得，代入计算即可．
本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：设t秒后的面积等于4，
由题意得：，，则，
，
，整理得：，
解得：，，
点Q从点C到点A的时间为，
，不合题意，舍去，
秒后，的面积等于
故答案为：
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
14.【答案】
【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的规律知：
二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得抛物线解析式为：，即
故答案为：
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
15.【答案】，
【解析】解：，
，
二次函数经过点，两点，
或，
解得：，，
故答案为：，
由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：当时，一次函数图象在二次函数图象下方，
一次函数与二次函数的图象相交于点，，
能使成立的x的取值范围是或，
故答案为：或
利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得x的取值范围．
此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．
17.【答案】3秒
【解析】解：，
从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是3秒，
故答案为：3秒．
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
此题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意可得：点B的坐标为，则，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
旋转后点B的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为，
故答案为：
根据正方形的运动发现点B的对应点的坐标按旋转后点B的对应点的坐标按为，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案．
本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点B对应点的坐标，发现规律即可解决问题是解题关键．
19.【答案】解：由题意得，是向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到的
如图，即为所求．
如图，即为所求．
由勾股定理得，
【解析】由题意得，是向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到的根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
利用勾股定理计算即可．
本题考查作图-平移变换、旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
解得；
，
，
，
，
，
解得
【解析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时除以4，最后利用开方解方程即可；
先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键．
21.【答案】解：设应邀请x支球队参赛，
根据意得：，
整理得，，
解得：，不合题意，舍去，
所以应邀请7支球队参赛．
答：应邀请7支球队参赛．
【解析】设应邀请x支球队参赛，根据题意列方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．
22.【答案】证明：由题意可知：，
无论m取何值，这个方程总有实数根．
【解析】由题意知，，进而结论得证．
本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
23.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即：，
整理得：，
；
解：方程有一个根是，
将代入方程得：，
，
则原方程为：，
解得：，，
方程的另一个根为
【解析】由根的判别式，列不等式求解即可．
将代入原方程，求出m，再解方程即可．
本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式：方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式是解题关键．
24.【答案】解：把代入代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，
，，
把代入得，
解得，
一次函数解析式为；
联立方程组，
解得或，
，
，，
，

【解析】把代入即可求出抛物线解析式，再求出A，B坐标，最后代入计算即可；
联立二次函数与一次函数的解析式，解方程组求出点C坐标，再根据求解即可．
本题考查待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，关键是求出二次函数的解析式．
25.【答案】解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，
，，
将绕点A逆时针旋转，得到，
，，，，
，
，
，N，T共线，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，

【解析】设，想办法证明，，推出，可得结论；
将绕点A逆时针旋转，得到，首先证明D，N，T共线，再证明，可得结论．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】证明：是等边三角形，
，，
线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接DE，
，，
为等边三角形，
，
又，

【解析】由等边三角形的性质知，，由旋转的性质可知，，从而得，再证≌，即可得答案；
由，知为等边三角形，即，继而由，即可得答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
27.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，
，
，解得，
抛物线的解析式；
，
，
设直线BC的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
直线BC的解析式为；
设点D坐标为，则点，
，，
，
，
，
①当时，，
，
解得，不合题意，舍去，
点N的坐标为；
②当时，，
，
解得，不合题意，舍去，
点N的坐标为；
③当时，，
，
解得，
点N的坐标为；
综上，存在，点N的坐标为或或；
设，，
，，
，
①以BC为对角线时，，
，
解得：，或，
或，
，，
，或，
，或，
点F的坐标为或；
②以BC为边时，或，
或，
解得：或，
或，
，，
，或，，
，或，，
点F的坐标为或，
综上所述：存在，点F的坐标为或或或
【解析】由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解；
求出直线BC的解析式，设点D坐标为，则点，利用勾股定理表示出，，，然后分①当时，②当时，③当时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；
分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．
本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．