江西省上饶市广信区信芳学校2024-2025学年高一上学期11月检测数学试卷

这是一份江西省上饶市广信区信芳学校2024-2025学年高一上学期11月检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．14D．18
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数若，则（ ）
A．2B．或2C．0或2D．或0或2
4．若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B． C． D．
6．已知，若，则（ ）
A．-2B．C．D．
7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ）
A．24 m3B．22m3C．20m3D．15 m3
8．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：50,60，60,70，，80,90，90,100，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（ ）
A．0.017B．0.018C．0.020D．0.023
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列四个结论中，正确的结论是（ ）
A．与表示同一个函数
B．定义在R上的偶函数满足：f3=0，且对任意，都有，则的解集是
C．设函数，则对，恒成立
D．已知，则的取值范围是
10．下列运算结果正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（ ）
A．B．本组样本的众数为250
C．本组样本的第45百分位数是300D．用电量落在区间内的户数为82
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，则的最小值为 .
13．已知函数在上单调递增，则的值为 .
14．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A
(1)求集合A;
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围.
16．（15分）已知函数.
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.
17．（17分）已知函数是奇函数．（是自然对数的底）
(1)求实数的值；
(2)若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值．
18．（15分）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入108万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入100万元
(1)求该芯片公司买该套生产设备产生的前年的总盈利额；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以54万元的价格处理，哪种方案较为合理?并说明理由(注：年平均盈利额=总盈利额)
19．（17分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差．
每户每月用水量
水价
不超过12的部分
3元
超过12但不超过18的部分
6元
超过18的部分
9元
参考答案
1．D
【分析】由得，再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】由，得，则，
则，
当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为18．
故选：D.
2．C
【分析】由的范围，得到，求解即可.
【详解】因为的定义域为0,2，
所以在中，有，则，
则在中，有，解得，
故的定义域为．
故选：C
3．B
【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可.
【详解】若，则，解得；
若，则，解得或（舍去）．
综上所述，或.
故选：B.
4．A
【分析】令,得到有两个根，其中，，令，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】令，，
设关于的方程有一个正实数根和一个负实数根，
故有两个根，其中，，
令，则，
解得，
故实数的取值范围是.
故选：A
5．D
【分析】根据指数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
6．B
【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可.
【详解】由题可得：，
即，
所以，解得：.
所以.
故选：B.
7．C
【分析】分段计算不同用水量的水费即可得到问题答案.
【详解】由题意：当用水量不超过12时，水费小于或等于元；
当用水量超过12但不超过18时，水费不超过：元；
交纳水费为90元时，用水量为：.
故选：C
8．C
【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得
故选：C
9．ACD
【分析】A选项，求出两函数的定义域相同，对应法则相同，为同一函数；B选项，根据函数的奇偶性和单调性得到时，，当时，，从而解不等式，求出解集；C选项，作差法比较大小；D选项，求出，利用同号可乘性得到，求出的取值范围是.
【详解】A选项，中，令，解得，
中，令，解得，
故两函数定义域相同，又，
故两函数对应法则相同，所以两函数为同一函数，A正确；
B选项，由题意得在上单调递减，
偶函数满足，则，且在上单调递增，
所以当时，，当时，，
，若，则且，得到，
若，则且，解得，
综上，不等式解集为，B错误；
C选项，，对，
，
当且仅当时，等号成立，
故恒成立，C正确；
D选项，已知，所以，，
又，故，即，
所以，的取值范围是，D正确.
故选：ACD
10．CD
【分析】根据题意，由指数幂的运算以及对数运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，原式，故A错误；
对于B，原式
，故B错误；
对于C，原式，故C正确；
对于D，原式，故D正确；
故选：CD
11．ACD
【分析】由频率分布直方图中矩形面积之和为1计算可得A正确；根据众数以及百分位数定义计算可得B错误，C正确；由频率估计对应频数计算可得D正确.
【详解】对于A，因为，
解得，故A正确；
对于B，样本的众数位于内，但不一定是250，故B错误；
对于C，前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，
故第45百分位数位于内，设其为，
则，解得，故C正确；
对于D，的频率为，
故用电量落在区间内的户数为，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】由基本不等式求得两数和的最小值.
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：
13．或
【分析】根据题意分析可知：在内单调递增，且，分和两种情况，结合单调性分析求解即可.
【详解】因为在R上单调递增，且，
由题意可知：在内单调递增，
且，解得，
若，则，
结合单调性可得，解得，可得；
若，注意到，结合单调性可知，
此时，其图像如图所示
可得在内单调递增，符合题意；
综上所述：或.
故答案为：或.
14．
【分析】由二次函数和指数函数的性质，讨论与1的关系得到零点的个数即可；
【详解】由题意可得当，即两个零点分别为和，
令，解得，
当时，，只有一个零点，不符合题意；
当时，，只有一个零点，不符合题意；
当时，无零点，要使函数恰有两个零点，需满足，即；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)或或，
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程根的关系可得，即可利用因式分解求解，
（2）根据充分不必要条件转化为,即可求解.
【详解】（1）由不等式 的解集为可知是的两个实数根，故且，解得，
所以为，变形为，
解得，
故不等式的解为，即
（2）由于“”是“”的充分不必要条件，故,
若，则，满足，
若，则，则，
则，解得或，
综上可得或或
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义按照步骤进行证明即可；
（2）将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论.
【详解】（1）证明：设，
则，
因为，所以，，，
所以，
所以函数在区间上单调递增，
（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，
所以当时，，
则问题转化为，当时，恒成立
又函数在上单调递减，所以，
所以，解得，
故实数的取值范围为
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性.
（2）若，将关于的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得.
（3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值.
【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为，所以，
即，解得．经检验，此时是奇函数
所以．
（2）由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，
所以．
（3）由题意得：
不妨设，则，
由，，为长度的线段可以构成三角形，则，
以，，为长度的线段也能构成三角形，
则恒成立，得恒成立
即时，恒成立，
又，仅当时前一个等号成立，
所以，即，于是的最大值为．
18．(1)，
(2)方案二更合理，理由见解析
【分析】（1）依题意可得，即可得到解析式；
（2）根据二次函数的性质求出方案一的总利额，再由，利用基本不等式求出年平均盈利额达到最大值时的值，即可求出方案二的总利额，即可判断.
【详解】（1）依题意可得，；
（2）方案一：总盈利额，
又，
所以当或时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利额为万元；
方案二：年平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；
即时，年平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备：总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适．
19．(1)平均数为71，众数为75．
(2)88
(3)平均数为76，方差为12．
【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解.
（2）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可；
（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.
【详解】（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，
平均数
由图可知，众数为75.
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.
（2）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第90%分位数落在第5组，设为x，则，解得．
“防溺水达人”的成绩至少为88分．
（3）的频率为0.15，的频率为0.30，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为76，方差为12．