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备战2025年高考二轮复习数学专题突破练18 统计与成对数据的统计分析（提升篇）（Word版附解析）
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这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练18 统计与成对数据的统计分析（提升篇）（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了03+0，1<11,即2s2106等内容，欢迎下载使用。
主干知识达标练
1.(多选题)某学校共有2 000名男生,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了其中100名男生的体重情况.根据所得样本数据绘制的频率分布直方图如图所示,则( )
A.样本数据的众数的估计值为67.5
B.样本数据的80%分位数的估计值为72.5
C.样本数据的平均数的估计值为66
D.该校男生中低于60 kg的人数大约为300
答案ABD
解析对于A,在频率分布直方图中,体重在区间[65,70)内的学生最多,所以样本数据的众数的估计值为67.5,故A正确;
对于B,因为(0.03+0.05+0.06)×5=0.7,0.7+0.04×5=0.9,所以80%分位数落在区间[70,75)内.设80%分位数为x,则0.7+0.04(x-70)=0.8,解得x=72.5,所以样本数据的80%分位数的估计值为72.5,故B正确;
对于C,样本数据的平均数的估计值为5×57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02=66.75,故C错误;
对于D,被抽到的100名男生中体重低于60 kg的频率为0.03×5=0.15,故可估计该校男生体重低于60 kg的概率为0.15,所以该校男生中低于60 kg的人数大约为2 000×0.15=300,故D正确.
故选ABD.
2.(多选题)(2024甘肃陇南一模)某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年所需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计资料:
根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x+a^,则( )
A.a^=0.08
B.y与x的样本相关系数r>0
C.表中维修费用的第60百分位数为6
D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
答案ABC
解析根据表中的数据可得x=4,y=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5,所以经验回归直线过点(4,5).将(4,5)代入经验回归方程y=1.23x+a^,可得a^=0.08,故A正确;
由表中数据可得y随着x增大而增大,x与y正相关,所以相关系数r>0,故B正确;
维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,因为5×60%=3,所以第60百分位数为5.5+6.52=6,故C正确;根据回归分析的概念,回归模型只能用来近似变量的关系,不能准确判断变量的值.故D错误.
故选ABC.
3.(多选题)(2024山东德州模拟)进入冬季,哈尔滨旅游火爆全网,下图是一周内哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则( )
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2万
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3万
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大
答案BC
解析中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,所以极差为1.9万,故A错误;
冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位数为2.3,故B正确;
冰雪大世界日旅游人数的平均值为1.7+1.8+1.9+2.3+2.4+2.6+2.97=7835(万),
中央大街日旅游人数的平均值为2.8+2.8+2.4+2.7+1.1+0.9+1.37=2(万),7835>2,故C正确;
冰雪大世界日旅游人数的方差为1.72+1.82+1.92+2.32+2.42+2.62+2.927-(7835)2=35.967-78352<5.2-2.22=0.36,
中央大街日旅游人数的方差为2.82+2.82+2.42+2.72+1.12+0.92+1.327-4=4.447≈0.63>0.36,
故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小,故D错误.
故选BC.
4.(17分)(2023全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.
(1)求z,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
解(1)∵zi=xi-yi,
∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,
∴z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,∴s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61.
(2)∵2s210=26.1<11,即2s210∴可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
关键能力提升练
5.(多选题)(2024广东汕头一模)某次考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩的方差为12,成绩位于[90,100]内的学生成绩的方差为10.则( )
参考公式:若样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为m,x,s12;n,y,s22.记样本平均数为ω,样本方差为s2,则s2=mm+n[s12+(x-ω)2]+nm+n[s22+(y-ω)2].
A.a=0.004
B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
答案BCD
解析对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,故A错误;
对于B选项,因为(2a+3a)×10=50a=0.25,0.25+7a×10=0.6,所以这100名学生成绩的中位数落在区间[70,80)内.
设这100名学生成绩的中位数为m,则0.25+(m-70)×7×0.005=0.5,解得m=5407≈77.14,所以这100名学生成绩的中位数的估计值为77.14,所以估计该年级学生成绩的中位数为77.14,故B正确;
对于C选项,这100名学生中,成绩在80分及以上的学生成绩的平均数的估计值为6a6a+2a×85+2a6a+2a×95=87.5,所以估计该年级成绩在80分以上的学生成绩的平均数为87.5,故C正确;
对于D选项,这100名学生中,成绩在80分及以上的学生成绩的方差的估计值为6a6a+2a[12+(85-87.5)2]+2a6a+2a[10+(95-87.5)2]=30.25,所以估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25,故D正确.
故选BCD.
6.(17分)(2024安徽芜湖二模)据新华社北京2月26日报道,2024年中国航天预计实施100次左右发射任务,有望创造新的纪录.我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务,多个卫星星座将加速组网建设.由于航天行业拥有广阔的发展前景,有越来越多的公司开始从事航天研究,某航天公司研发了一种火箭推进器,为测试其性能,对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计,数据如下.
(1)建立y关于x的一元线性回归模型,根据所给数据,求y关于x的经验回归方程y^=b^x+a^;(参数精确到0.1)
(2)该公司进行了第二项测试,从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试,对其中60台进行飞行前保养,测试结束后,有20台报废,其中保养过的推进器占比30%,请根据统计数据完成2×2列联表,并根据小概率值α=0.01的独立性检验,判断推进器是否报废与保养情况是否有关.
附:经验回归方程y^=b^x+a^中斜率参数和截距参数的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x;χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d;x=86,y=112,∑i=18xiyi=82 743,∑i=18xi2=62 680.
解(1)由题意得b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=18xiyi-8x y∑i=18xi2-8x2=82 743-8×86×11262 680-8×862≈1.6,
则a^=y-b^x=112-1.6×86=-25.6,所以y^=1.6x-25.6.
(2)由题意,报废推进器中保养过的共有20×30%=6(台),未保养的推进器共有20-6=14(台),所以2×2列联表为
零假设为H0:推进器是否报废与保养情况无关,根据列联表中的数据,经计算得到χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(6×26-14×54)220×80×60×40=9.375>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为推进器是否报废与保养情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.
x/年
2
3
4
5
6
y/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
飞行距离x/km
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数y/个
61
73
90
105
119
136
149
163
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
损坏情况
保养情况
合计
保养
未保养
报废
20
未报废
合计
60
100
损坏情况
保养情况
合计
保养
未保养
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
主干知识达标练
1.(多选题)某学校共有2 000名男生,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了其中100名男生的体重情况.根据所得样本数据绘制的频率分布直方图如图所示,则( )
A.样本数据的众数的估计值为67.5
B.样本数据的80%分位数的估计值为72.5
C.样本数据的平均数的估计值为66
D.该校男生中低于60 kg的人数大约为300
答案ABD
解析对于A,在频率分布直方图中,体重在区间[65,70)内的学生最多,所以样本数据的众数的估计值为67.5,故A正确;
对于B,因为(0.03+0.05+0.06)×5=0.7,0.7+0.04×5=0.9,所以80%分位数落在区间[70,75)内.设80%分位数为x,则0.7+0.04(x-70)=0.8,解得x=72.5,所以样本数据的80%分位数的估计值为72.5,故B正确;
对于C,样本数据的平均数的估计值为5×57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02=66.75,故C错误;
对于D,被抽到的100名男生中体重低于60 kg的频率为0.03×5=0.15,故可估计该校男生体重低于60 kg的概率为0.15,所以该校男生中低于60 kg的人数大约为2 000×0.15=300,故D正确.
故选ABD.
2.(多选题)(2024甘肃陇南一模)某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年所需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计资料:
根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x+a^,则( )
A.a^=0.08
B.y与x的样本相关系数r>0
C.表中维修费用的第60百分位数为6
D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
答案ABC
解析根据表中的数据可得x=4,y=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5,所以经验回归直线过点(4,5).将(4,5)代入经验回归方程y=1.23x+a^,可得a^=0.08,故A正确;
由表中数据可得y随着x增大而增大,x与y正相关,所以相关系数r>0,故B正确;
维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,因为5×60%=3,所以第60百分位数为5.5+6.52=6,故C正确;根据回归分析的概念,回归模型只能用来近似变量的关系,不能准确判断变量的值.故D错误.
故选ABC.
3.(多选题)(2024山东德州模拟)进入冬季,哈尔滨旅游火爆全网,下图是一周内哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则( )
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2万
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3万
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大
答案BC
解析中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,所以极差为1.9万,故A错误;
冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位数为2.3,故B正确;
冰雪大世界日旅游人数的平均值为1.7+1.8+1.9+2.3+2.4+2.6+2.97=7835(万),
中央大街日旅游人数的平均值为2.8+2.8+2.4+2.7+1.1+0.9+1.37=2(万),7835>2,故C正确;
冰雪大世界日旅游人数的方差为1.72+1.82+1.92+2.32+2.42+2.62+2.927-(7835)2=35.967-78352<5.2-2.22=0.36,
中央大街日旅游人数的方差为2.82+2.82+2.42+2.72+1.12+0.92+1.327-4=4.447≈0.63>0.36,
故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小,故D错误.
故选BC.
4.(17分)(2023全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.
(1)求z,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
解(1)∵zi=xi-yi,
∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,
∴z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,∴s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61.
(2)∵2s210=26.1<11,即2s210
关键能力提升练
5.(多选题)(2024广东汕头一模)某次考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩的方差为12,成绩位于[90,100]内的学生成绩的方差为10.则( )
参考公式:若样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为m,x,s12;n,y,s22.记样本平均数为ω,样本方差为s2,则s2=mm+n[s12+(x-ω)2]+nm+n[s22+(y-ω)2].
A.a=0.004
B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
答案BCD
解析对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,故A错误;
对于B选项,因为(2a+3a)×10=50a=0.25,0.25+7a×10=0.6,所以这100名学生成绩的中位数落在区间[70,80)内.
设这100名学生成绩的中位数为m,则0.25+(m-70)×7×0.005=0.5,解得m=5407≈77.14,所以这100名学生成绩的中位数的估计值为77.14,所以估计该年级学生成绩的中位数为77.14,故B正确;
对于C选项,这100名学生中,成绩在80分及以上的学生成绩的平均数的估计值为6a6a+2a×85+2a6a+2a×95=87.5,所以估计该年级成绩在80分以上的学生成绩的平均数为87.5,故C正确;
对于D选项,这100名学生中,成绩在80分及以上的学生成绩的方差的估计值为6a6a+2a[12+(85-87.5)2]+2a6a+2a[10+(95-87.5)2]=30.25,所以估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25,故D正确.
故选BCD.
6.(17分)(2024安徽芜湖二模)据新华社北京2月26日报道,2024年中国航天预计实施100次左右发射任务,有望创造新的纪录.我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务,多个卫星星座将加速组网建设.由于航天行业拥有广阔的发展前景,有越来越多的公司开始从事航天研究,某航天公司研发了一种火箭推进器,为测试其性能,对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计,数据如下.
(1)建立y关于x的一元线性回归模型,根据所给数据,求y关于x的经验回归方程y^=b^x+a^;(参数精确到0.1)
(2)该公司进行了第二项测试,从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试,对其中60台进行飞行前保养,测试结束后,有20台报废,其中保养过的推进器占比30%,请根据统计数据完成2×2列联表,并根据小概率值α=0.01的独立性检验,判断推进器是否报废与保养情况是否有关.
附:经验回归方程y^=b^x+a^中斜率参数和截距参数的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x;χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d;x=86,y=112,∑i=18xiyi=82 743,∑i=18xi2=62 680.
解(1)由题意得b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=18xiyi-8x y∑i=18xi2-8x2=82 743-8×86×11262 680-8×862≈1.6,
则a^=y-b^x=112-1.6×86=-25.6,所以y^=1.6x-25.6.
(2)由题意,报废推进器中保养过的共有20×30%=6(台),未保养的推进器共有20-6=14(台),所以2×2列联表为
零假设为H0:推进器是否报废与保养情况无关,根据列联表中的数据,经计算得到χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(6×26-14×54)220×80×60×40=9.375>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为推进器是否报废与保养情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.
x/年
2
3
4
5
6
y/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
飞行距离x/km
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数y/个
61
73
90
105
119
136
149
163
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
损坏情况
保养情况
合计
保养
未保养
报废
20
未报废
合计
60
100
损坏情况
保养情况
合计
保养
未保养
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
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专题18 统计与成对数据的统计分析-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）： 这是一份专题18 统计与成对数据的统计分析-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用），共25页。试卷主要包含了知识速览，考点速览，频率分布直方图的计算，百分位数的计算，判断相关关系的2种方法，非线性回归分析的求法，独立性检验的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
