四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题及参考答案

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A.8B.12C.16D.6
2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
3.直线的倾斜角是（ ）
A.B.C.D.
4.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ）
A.B.C.D.
5.数据，，，，，，，，的第60百分位数为（ ）
A.14B.9.5C.8D.9
6.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子出现的点数，事件“两个点数之和是5”的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点（如图）.若光线经过的重心，则等于（ ）
A.2B.1C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A.与互斥B.与对立
C.与相互独立D.
10.下列关于轨迹方程的说法，正确的是（ ）
A.与两定点，的距离的比为的动点的轨迹方程为
B.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为
C.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为
D.若圆的一条直径的端点分别是，.则此圆的方程是
11.给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是
B.已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量
C.向量在向量上的投影向量为
D.已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，______.
13.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为______.
14.在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的平均数和第75百分位数.
16.（本小题满分15分）
在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）证明平面.
（2）求点到平面的距离.
17.（本小题满分15分）
已知圆经过点，，三点，直线的方程为.
（1）求圆的标准方程；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）当为何值时，直线被圆截得的弦长最短？并求出最短弦长.
18.（本小题满分17分）
甲、乙二人进行一次羽毛球比赛，有五局三胜制和三局两胜制两种赛制.五局三胜制中，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束；三局两胜制中，约定先胜2局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.
（1）若采用五局三胜制，且已知前2局中，甲、乙各胜1局.
①求再赛2局结束这次比赛的概率；
②求甲获得这次比赛胜利的概率.
（2）采用五局三胜制还是三局两胜制对甲更有利，并通过计算说明理由.
19.（本小题满分17分）
如下图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；
（1）求证：；
（2）若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值；
（3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
成都市实验外国语学校高二年级2024-2025学年10月月考数学
参考答案及评分标准
一、单选题：1~5ACDBD 6~8AAD
二、多选题：9.AC（教材第47页复习参考题1第1题）10.ACD（教材87-89课后作业）11.BC
三、填空题：12. 13.（教材第84页例3） 14.
四、解答题：
15【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得.
（2）平均数为
所以样本成绩的平均数为74
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为，则，
由，解得，所以第75百分位数为84.
16【详解】（1）证明：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，.
，，，，.
.
，平面，
（2）设平面的法向量为，
则，，
，取，则，，，
又，，
点到平面的距离为.
17【详解】（1）设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，即；
（2）直线的方程可化为
联立，解得，故直线恒过定点
（3）设，，当直线时，直线被圆截得的弦长最短
则直线的斜率为
由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即
圆心到直线的距离为
最短弦长
18【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”，
设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥.
所以.
故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.
（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.
（3）记“三局两胜制下甲获胜”为事件，
则
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，互斥.
记“五局三胜制下甲获胜”为事件，比赛分3局赛完、4局赛完和5局赛完三种情况.①若3局赛完，则甲获胜的情况有1种：“甲甲甲”（甲代表本局比赛甲胜）；②若4局赛完，则甲获胜的情况有3种：“甲甲乙甲”、“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”；③若5局赛完，则甲获胜的情况有6种：“甲甲乙乙甲”、“甲乙甲乙甲”、“甲乙乙甲甲”、“乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲”、“乙乙甲甲甲”；
由于各局比赛结果相互独立，且以上事件均两两互斥，
因为，故五局三胜制对甲更有利.
19【详解】（1）因为，，
所以，即，，，，平面，
平面，平面，所以.
（2）因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，，
平面，平面，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
，，，，
设平面法向量为
，令，得，，所以，
设二面角为，
，
，
（3）分别以反方向和方向分别为，轴，过做的垂线为轴，
设，，，，，显然，
，，
，得出，则，则，
根据翻折后勾股定理得，
化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得，
设平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
则，
令，，令，则，且，
，
根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0，
则函数在单调递增，则，即，
则，即正弦值的取值范围.
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