备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类(原卷版+解析)

这是一份备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类(原卷版+解析)，共99页。试卷主要包含了基本事实1，“三个”推论，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。

1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
一、单选题
1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
2．（2024·广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都相交B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交D．至多与，中的一条相交
3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（ ）
A．0B．0或1C．1D．2
4．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．点B．点C．点D．点
5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A．B．C．与相交D．
6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）.
A．相交B．平行C．异面D．无法确定
7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（ ）
A．对B．对
C．对D．对
8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18B．21C．24D．27
9．（2024高一·全国·课后作业）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行
10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（ ）
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（ ）
A．①③B．②③C．②④D．②③④
12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内D．有无数条，不一定在平面内
13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形沿斜边
的中线折起得到空间四面体，如图(2)，则在空间四面体中, 与的位置关系是（ ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台中，、、、分别为棱，，，的中点，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称点与点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
16．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）

A．B．C．D．
17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m∥β”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
20．（2023届上海春季高考练习）如图，P是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ）
A．B．C．D．
21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（ ）
A．m与n异面B．m与n相交
C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能
22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线.
②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定个平面.
A．B．C．D．
23．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.
24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（ ）
A．①B．①④C．②③D．③④
25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A．1B．2C．3D．4
26．（2024高一·全国·课后作业）直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是
A．与内的一条直线不相交B．与内的两条直线不相交
C．与内的无数条直线不相交D．与内的任意一条直线不相交
27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）
A．直线与直线CP可能相交B．直线与直线CP始终异面
C．直线与直线CP可能垂直D．直线与直线BP不可能垂直
28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高一上·全国·专题练习）M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有
A．l∥αB．l⊂α
C．l与α相交D．以上都有可能
30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A．B．5C．D．8
31．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
32．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ）

A．直线与是相交直线B．直线与是平行直线
C．直线与是异面直线D．直线与是异面直线
37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（ ）部分．
A．5B．6C．7D．8
40．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点E、F使得B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等D．三棱锥A-BEF的体积为定值
三、填空题
41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.
其中真命题的序号是 .
42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线平面于，直线，则与平面的关系是 ．
43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为 ．
46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 .
47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为 .
49．（2024高一·全国·课后作业）“直线与平面没有公共点”是“”的 条件．
50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有 组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有 个.
52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ．
53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是
四、解答题
54．（2024高一·全国·课后作业）已知：，，，，，．求证：直线共面于．
55．（2024高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：，必相交且交点在直线上．
56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？
58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.

62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是和的中点，求证：四边形为平面图形．
63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体中．画出平面与平面及平面与平面的交线．
65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．
66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

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图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
（一）
共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点
题型1：基本事实的应用
1-1．（2024高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

(1)，，，四点共面；
(2)与的交点在直线上．
1-2．（2024高一下·云南楚雄·期中）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH，相交于一点．
1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
（二）
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成角的方法
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
题型2：空间位置关系的判断
2-1．（2024高三·全国·对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线
2-2．【多选】（2024·全国·模拟预测）如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（ ）
A．B．
C．直线，是异面直线D．直线，是相交直线
2-3．【多选】（2024·湖北荆门·模拟预测）已知，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则
C．若且，则直线
D．若直线，直线，则a与b为异面直线
2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
题型3：异面直线所成的角
3-1．（2024高二上·上海浦东新·期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 .
（1）直线与直线相交；
（2）直线与直线平行；
（3）直线与直线是异面直线；
（4）直线与直线成角.
3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为 ．
3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ．
3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为 .（写出一个值即可）
3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段的两端分别在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，则直线与所成的角等于 ．
（三）
空间几何体的切割(截面)问题
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
题型4：空间几何体的切割(截面)问题
4-1．（2024·河南新乡·三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
4-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（ ）
①平面 ；②；③直线与所成角的余弦值为
④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形
A．1B．2C．3D．4
4-3．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
4-4．（2024高三下·北京东城·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点），

①异面直线与AF所成角可以为
②当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
（四）
等角定理的应用
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
题型5：等角定理的应用
5-1．（2024高一下·江苏常州·阶段练习）已知空间中两个角，且，若，则 .
5-2．（2024高二·全国·课后作业）若空间两个角与的两边对应平行，当时，则 ．
5-3．（2024高一·全国·专题练习）过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条．
5-4．（湖北省2023-2024学年高三下学期3月调研数学试题）在棱长均相等的四面体中，为棱不含端点上的动点，过点A的平面与平面平行若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为 ．
专题32 空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类
1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
一、单选题
1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
【答案】D
【分析】根据异面直线的定义即可求解.
【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.
故选：D.
2．（2024·广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都相交B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交D．至多与，中的一条相交
【答案】C
【详解】l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图
所以至少与，中的一条相交.
故选:C．
3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（ ）
A．0B．0或1C．1D．2
【答案】B
【详解】直线l在平面外，则直线l与平面相交或者平行，当直线l与平面相交时，公共点的个数是1个，当直线l与平面平行时，公共点的个数是0个，
故选：B
4．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义判断即可.
【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；
C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；
D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；
利用排除法可得选项B正确.
故选：B.
5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A．B．C．与相交D．
【答案】A
【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项.
【详解】若直线与平面有两个公共点，
则直线在平面内，即.
故选：A
6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）.
A．相交B．平行C．异面D．无法确定
【答案】A
【分析】在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系.
【详解】
如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.
故选：A.
7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（ ）
A．对B．对
C．对D．对
【答案】B
【分析】根据空间几何体异面直线的位置要求,可判断出一条棱的异面直线数量.求得所有棱的异面直线数量,除掉重复的即为所有异面直线的对数.
【详解】画出正方体,如下图所示:
如图所示,与异面的直线有四条
因为各棱具有相同的位置且正方体共有条棱,排除重复计算的棱
则共有异面直线(对).
故选:B
【点睛】本题考查了异面直线的判断和数量,熟练掌握正方体各棱的位置关系是解决问题的关键,属于基础题.
8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18B．21C．24D．27
【答案】B
【分析】平面是向四周无限延展的. 可分两步进行空间直观想象，先由三个侧面分空间，再由棱柱的两平行底面分空间，即可解决问题.
【详解】三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分．
故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为．
故选：B．
9．（2024高一·全国·课后作业）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行
【答案】D
【分析】根据面面关系结合图形来分析判断.
【详解】如图1，若，则平面上任一点到平面距离相等，故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等；
如图2，若与相交，则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等；
故平面与平面的位置关系是相交或平行.
故选：D.
10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（ ）
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
【答案】B
【分析】根据空间直线、平面间的位置关系特别是面面平行的判定定理判断．
【详解】一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，A错；
如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，B正确；
平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，C错；
如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，D错．
故选：B．
11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（ ）
A．①③B．②③C．②④D．②③④
【答案】C
【分析】对于①③可证出，两条直线平行一定共面，即可判断直线与共面；
对于②④可证三点共面，但平面；三点共面，但平面，即可判断直线与异面.
【详解】由题意，可知题图①中，，因此直线与共面；
题图②中，三点共面，但平面，因此直线与异面；
题图③中，连接，则，因此直线与共面；
题图④中，连接，三点共面，但平面，
所以直线与异面.
故选C.
【点睛】本题主要考查异面直线的定义，属于基础题.
12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内D．有无数条，不一定在平面内
【答案】B
【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案.
【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内.
故选：B.
13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形沿斜边
的中线折起得到空间四面体，如图(2)，则在空间四面体中, 与的位置关系是（ ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判断定理，证出平面；再由线面垂直的定义即可证出，由于不相交即可得出答案.
【详解】折起前，折起后有，，且，
所以平面，所以又与不相交，故与异面且垂直.
故选C
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及线面垂直的定义，需掌握线面垂直的判定定理内容，证明异面直线垂直一般先证线面垂直，此题属于基础题.
14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台中，、、、分别为棱，，，的中点，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称点与点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据棱台的性质可得、，即可得到四边形、为梯形，从而说明A、B、C错误，利用反证法即可判断D选项
【详解】解：根据棱台的性质可知，连接、、、、，
因为、分别为棱，的中点，
所以，又底面为正方形，所以，所以，所以四边形为梯形，
所以与相交，与相交，故B、C错误；
因为，所以四边形是梯形，所以与相交，故A错误；
因为为梯形，为的中点，即，则、、、四点不共面，所以与不相交，
若与相交，则、、、四点共面，
显然、、、四点共面，平面，所以、、、四点不共面，即假设不成立，
所以与不相交，即点与点可视，故D正确．
故选：D．
15．（2024·全国）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
16．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义一一判定即可.
【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，
则、在平面上，故A不符题意；
同上，，即共面，
易知平面，而平面，故B符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故C不符合题意；
同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意.
故选：B
17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
【答案】D
【分析】在圆柱中，利用勾股定理求解，再利用异面直线的定义进行判断得出结果.
【详解】如图，在底面半径为1的圆柱中，母线，，是的中点，则，
因为是的中点，又，则，
，，
，
在中，是的中点，是的中点，，
与是共面直线，
若AC与EF是共面直线，则在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线
故选：D．
18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m∥β”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由面面平行的定义可得充分性，举反例说明必要性.
【详解】由于m⊂α，若“α∥β”，由面面平行的定义知α与β无公共点，即m与β无公共点，
故可以推出“m∥β”成立，所以是充分条件．
反之，若“m∥β”，平面α与平面β也可能相交．
所以不是必要条件．
则“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了空间直线与平面平行、面面平行的定义的应用，考查了必要条件充分条件的判断．属于基础题．
19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【分析】
取，，的中点，，，可得，，，由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，从而求出截面是六边形.
【详解】
如图所示，分别取，，的中点，，，连接 ，，，，，，则，.
，.
同理可得，.
由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，
所以平面截正方体所得的截面是六边形.
故选：D.
20．（2023届上海春季高考练习）如图，P是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据异面直线的知识确定正确答案.
【详解】在边上运动，则平面，
当运动到的中点时，与相交，A选项错误.
，四点共面，
平面，，所以与是异面直线，B选项正确.
当运动到点时，与相交，所以CD选项错误.
故选：B
21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（ ）
A．m与n异面B．m与n相交
C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能
【答案】D
【分析】根据题意作出图形，进行判断即可.
【详解】解：空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，
则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m与n可能异面（如图3），

故选D．
【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．
22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线.
②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定个平面.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两个平面相交的性质可判断①;根据平面与平面的位置关系及线线共面条件可判断②;根据点形成平面的条件即可判断③.
【详解】对于①,因为三点既在平面上,又在平面上,所以这三点必在平面与的交线上,即三点共线,所以①正确；
对于②,因为,所以与确定一个平面,而上有两点在该平面上,所以,即三线共面于；同理三线也共面,不妨设此平面为.而和有两条公共的直线,所以与重合,故这些直线共面,所以②正确；
对于③,不妨设其中四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以③错误
综上可知,正确的为①②
故选:C
【点睛】本题考查了点、线、面的位置关系及判断,平面与平面相交的性质,若干点组成平面的数量,属于基础题.
23．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.
【答案】B
【分析】利用推论可判断B正确；对A项，由基本事实3可知；对C项，两个相交的平面有无数个公共点；对D项，平面内可找到无数条直线与相交.
【详解】对选项A，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，
而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故A项错误；
对于B，若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；
对选项C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C项错误；
对选项D，若直线不平行于平面，且，
则直线与平面相交，设交点为，
则平面内所有过点的直线都与相交于点，而不是异面，故D项错误.
故选：B.
24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（ ）
A．①B．①④C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据梯形定义,有两条边平行可判断①;利用三棱柱的侧棱平行关系可判断②;两个平面相交也可以有三个公共点,可判断③; 三条直线两两相交,这三条直线可以在同一平面内,也可构成三个平面,可以判断④.
【详解】对于①,因为梯形中有两条边平行,由共面定理可知四个顶点一定共面,所以命题①正确;
对于②,由于三棱柱的三条侧棱所在的直线平行,但这三条直线不共面,所以②错误;
对于③,有三个公共点的两个平面可以重合,也可以相交,所以③错误;
对于④,三条直线两两相交,若交点有3个,则确定1个平面;若交点在同一位置时,可确定1个或3个平面,所以④正确.
综上可知正确的是①④
故选:B
【点睛】本题考查了空间中点、线、面的位置关系,对特殊的位置关系要牢记,对空间想象能力要求较高,属于基础题.
25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确.
【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线，
则直线l与平面相交，满足条件，
对于命题①，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题①错误，
对于命题④，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题④错误，
对于命题②，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线；若直线l与平面不垂直，如图，，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，，所以，又，，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题②正确，
对于命题③，如图，假设平面内存在直线与直线l平行；
因为，，，所以，与矛盾，所以平面内不存在直线与直线l平行；命题③正确，
故选：B.
26．（2024高一·全国·课后作业）直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是
A．与内的一条直线不相交B．与内的两条直线不相交
C．与内的无数条直线不相交D．与内的任意一条直线不相交
【答案】D
【分析】根据直线与平面平行的定义来进行判断.
【详解】对于选项A，与平面内的一条直线不相交，则直线、与相交以及都有可能，A选项不正确；
对于B选项，与内的两条直线不相交，则直线、与相交以及都有可能，B选项不正确；
对于C选项，若与内的无数条平行直线平行时，则或，C选项不正确；
对于D选项，，根据直线与平面平行的定义，可知直线与平面内的任意一条直线都不相交，D选项正确.故选D.
【点睛】本题考查线面平行条件的判断，考查线面平行的定义，考查逻辑推理能力，属于中等题.
27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）
A．直线与直线CP可能相交B．直线与直线CP始终异面
C．直线与直线CP可能垂直D．直线与直线BP不可能垂直
【答案】B
【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D.
【详解】在正三棱柱中，
因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，，，
所以四点不共面，
所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确；
对于C，设，
则，
，
若直线与直线CP垂直，则，
即，
所以，
即，解得，
因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误；
对于D，连接，
因为为的中点，所以，
又因平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.
故选：B.
28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于选项A，利用异面直线的判断定理可知选项A正确；对于选项B，当与重合时，有，从而判断出选项B的正误；对于选项C，当与重合时，有与相交，从而判断出选项C的正误；对于选项D，取中点，连交于，利用，可得到与相交，从而判断出选项D的正误.
【详解】对于选项A，面，面，面，所以直线与异面；
对于选项B，当与重合时，因为，又，，分别是棱，，的中点，所以，所以，选项B错误；
对于选项C，连接，在正方体中，易得且，所以与相交，即当与重合时，与相交，选项C错误；
对于选项D，取中点，连交于，连，因为且，所以且，故当与重合时，与相交，选项D错误.
故选：A.
29．（2024高一上·全国·专题练习）M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有
A．l∥αB．l⊂α
C．l与α相交D．以上都有可能
【答案】C
【分析】由立体几何的符号语言可得结论.
【详解】由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C．
【点睛】本题考查立体几何的符号语言与图形语言的转化，属基础题.
30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A．B．5C．D．8
【答案】C
【分析】根据题意画出与垂直的平面GJKLNM，作出其投影平面AOQCKJ，已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1，所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点，求出投影的面积S即可得出答案.
【详解】
由题意可以作出与垂直的平面，
利用面面平行可作出过点P且平行于平面的平面GJKLNM，
则平面GJKLNM与垂直，
作出点M，N的投影O，Q，
平面AOQCKJ的面积S即为所求，
已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1，
所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点
，
故选：C.
31．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①通过平行线求异面直线所成角；②先求点P的轨迹再求DP的最小值；③先由面面平行的性质作出截面再求截面的周长；④先找外接球的球心再求球的体积.
【详解】对于①，，
在中即为异面直线与所成的角，
，
异面直线与所成的角的余弦值为．故①错误；
对于②，取的中点的中点，取的中点，连接，，，
，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如图，在中，．故②正确；
对于③，过点的平面截正方体，
平面平面，则过点的平面必与、各交于一点，
设过点的平面必与与分别交于、，
过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，
如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，
，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故③正确；
对于④，如图所示，取的中点，则，过作，
且使得，则为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球的半径，
在中，，
，则，
．故④正确，
故选：C．
32．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由正方体的性质证明平面，同样由正方体性质知时，截面与棱相交于它们的中点处，计算出，然后从1开始增加，平面逐渐平移，由棱锥平行于底面的截面的性质易得的表达式，，然后确定在时，是常数，与的情形相似可得．从而得出结论．
【详解】
如图，连接， ，平面，平面，则，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理，，平面，平面，所以平面，
因此平面与平面重合或平行，
取的中点，连接，则，，
同理可证平面，由于，，所以三棱锥是正三棱锥，
与平面的交点是的中心，
正方体棱长为，则，，
所以，所以，
由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面从平面平移到平面时，，即，
，，显然，


平面过平面再平移至平面时，如图，把正方形沿旋转到与正方形在同一平面内，
如图，则共线，由正方形性质得，同理，，
因此此种情形下，截面的周长与截面的周长相等，平移平面，一直到平面位置处，
由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到，
综上，的值域是．
故选：A.
【点睛】方法点睛:利用正方体性质求出截面初始位置（）时，截面周长，然后由棱锥的性质求出（），再通过空间问题平面化的思想（结合对称性）求出时的值，由对称性可得时函数值的取值情况．
二、多选题
33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【分析】根据确定平面的条件，逐个分析可得答案.
【详解】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.
故选：BC
34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
【答案】ACD
【分析】根据空间中点、线、面的位置关系及基本定理，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：若空间中三点共线，则无法确定平面，故A错误；
对于B：三角形一定是平面图形，故B正确；
对于C：若A，，，既在平面内，又在平面内，则此四点可能在平面与平面的交线上，无法确定平面和平面是否重合，故C错误；
对于D：四条边都相等的四边形可能是空间四边形，故D错误；
故选：ACD
35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一条直线的两条直线位置关系不确定，可判断B，通过举反例可判断D.
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图，且，
则但和的关系不确定，
故D错误.
故选：AC
36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ）

A．直线与是相交直线B．直线与是平行直线
C．直线与是异面直线D．直线与是异面直线
【答案】CD
【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为点在平面外，点在平面内，直线在平面内，不过点，所以与是异面直线，故A错误；
对于B，若直线与平行，则MN与AB共面，又平面，所以直线与不平行，故B错误；
对于C，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故D正确.
故选：CD.

37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
【答案】ABC
【分析】由基本事实可判断选项A，B和选项C；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D．
【详解】由基本事实可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，
因此选项A正确；选项B正确；选项C符合基本事实，因此选项C正确；
若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误．
故选：ABC
38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】BCD
【分析】
根据正方体六个面即三对互相平行的平面的性质，结合空间直观想象作出截面图形即可.
【详解】
对选项A，假设过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状为三角形，则必为三角形的一条边，
但线段不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边.故A项错误；
对选项B，如图，取AB的中点为，连接PM，过点P，Q，M的平面作截面，
则平面，设平面，且点，
由平面平面，则，又，且，又，
则，故所在直线与重合，又，
连接MD，，则四边形为平行四边形，且，
故此时过点P，Q，M的平面截正方体所得的截面为四边形，
故选项B正确；
对选项C，如图，连接，过点的平面作截面，
则平面，设平面，且点，
由平面平面，则，
取上靠近的四等分点为，连接，
再分别取的中点，连接，
由，，可得四边形为平行四边形，
则，同理可证，又由分别为的中点，则，
则由平行的传递性可得，，
即所在直线与重合，即平面；
同理，取上靠近的三等分点为M，连接，
由平面平面，可得，平面；
连接，此时过点的平面截正方体所得的截面为五边形PBNQM，
故C项正确；

对选项D，如图，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，
连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，
与BC项同理可由平面平面，平面平面，平面平面，
得，，，
即此时过点的平面截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确.
故选：BCD．
39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（ ）部分．
A．5B．6C．7D．8
【答案】BCD
【分析】由平面的性质可借助图形说明．
【详解】三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）；
三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）；
三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）；
故选：BCD.

40．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点E、F使得B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等D．三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【分析】对A，利用异面直线的定义；对B，根据线面平行判定定理；对C，根据三角形的高不相等；对D，直接计算体积；
【详解】如图所示，AB与为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；
，故平面ABCD，故B正确；
由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；
连结BD交AC于O，则AO为三棱锥A-BEF的高，
，
三棱锥A-BEF的体积为为定值，D正确；
故选：BD.
【点睛】本题考查空间中线面位置关系、面积和体积的有关计算，考查、空间想象能力、运算求解能力.
三、填空题
41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.
其中真命题的序号是 .
【答案】①②③
【分析】利用点线面之间的位置关系知识点判断即可.
【详解】①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点；
②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交；
③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面；
④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内.
【点晴】此题点线面之间的位置关系，属于基础题.
42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线平面于，直线，则与平面的关系是 ．
【答案】
【分析】假设，然后利用已知证明假设不成立即可.
【详解】假设，记由NP，MN确定的平面为，
因为平面，，所以，
又，则在平面内，过点N存在两条直线与已知直线垂直（矛盾），
所以假设不成立，故.
故答案为：
43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】 ，， ，，
【分析】根据点、线、面的位置关系，写成符号语言表示.
【详解】由点、线、面的位置关系可得：
（1），，
（2）
（3），
故答案为：
（1），，
（2）
（3），
44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
【答案】或
【分析】
根据等角定理即可确定的大小.
【详解】根据等角定理知：或，
若，则或.
故答案为：或
45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为 ．
【答案】相交
【分析】根据两平面位置关系的定义判断可出结论.
【详解】在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交.
故答案为：相交.
46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 .
【答案】正方形
【分析】画出满足条件的图象，利用、、、分别为各边的中点，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，即可得到结论．
【详解】解：连接、，
、、、分别为各边的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，且，
，且，
四边形是正方形；
故答案为：正方形．
47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
【答案】 平行； 异面； 相交； 异面
【分析】利用平行四边形的性质即可证明A1B∥D1C；根据异面直线的定义，即可证明直线A1B与直线B1C、直线AB与直线B1C互为异面直线；由直线D1D与直线D1C相交于点D1，可知直线D1D与直线D1C相交.
【详解】（1）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.，
所以直线A1B与直线D1C的位置关系是平行；
（2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
所以直线A1B与直线B1C的位置关系是异面；
（3）直线D1D与直线D1C相交于点D1，
所以直线D1D与直线D1C的位置关系是相交；
（4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
所以直线AB与直线B1C的位置关系是异面.
故答案为：平行；异面；相交；异面.
48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为 .
【答案】45°或135°/135°或45°
【分析】根据等角定理即可得到答案.
【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
49．（2024高一·全国·课后作业）“直线与平面没有公共点”是“”的 条件．
【答案】充要
【分析】根据线面平行的定义，即可得出充分条件.当时，假设直线与平面有公共点，根据推论2以及线面平行的性质定理得出矛盾，即可说明假设错误，得出必要条件.
【详解】若直线与平面没有公共点，根据线面平行的定义，有；
若：
假设直线与平面有公共点.如图，设为公共点，则，.
显然，使得，所以.
根据推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.可得，，使得，.
所以.
因为，根据线面平行的性质定理可得，，
这与相矛盾，所以假设不成立，
所以直线与平面没有公共点.
综上所述，“直线与平面没有公共点”是“”的充要条件.
故答案为：充要.
50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有 组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有 个.
【答案】 4. 6.
【解析】由六棱柱的两底面平行，每个侧面与其正对的侧面平行，即可得出第一空答案；
与某一个侧面平行的平面只有与其相对的平面，其它的与该侧面相交，即可得出第二空答案.
【详解】六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了平面与平面的位置关系，属于基础题.
51．（上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 .（从相交，平行，异面中选填）
【答案】相交
【分析】连接与交于点F，易得是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线与直线的位置关系.
【详解】如图所示：
连接与交于点，
由题意，易得四边形是平行四边形，
在平行四边形中，
分别是线段的中点，
∴，又且共面，
则直线与直线相交.
故答案为：相交.
52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ．
【答案】或
【分析】分直线在平面外与直线在平面内分别讨论，即可得到结果.
【详解】若直线在平面外，则；
若直线在平面内，符合条件.
或
故答案为: 或
53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是
【答案】
【分析】利用平移的思想，得出或其补角为异面直线与所成角，结合为正三角形，即可得解．
【详解】解：如图所示，由题可知，四边形和均为正方形，为正三角形，
，，
或其补角为异面直线与所成角，
而为正三角形，
，
即异面直线与所成角的大小是.
故答案为：.
四、解答题
54．（2024高一·全国·课后作业）已知：，，，，，．求证：直线共面于．
【答案】证明见解析
【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论.
【详解】,
同理，
所以直线共面于.
55．（2024高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：，必相交且交点在直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线段成比例得出直线与直线平行，利用平行直线确定一个平面可证结论；
（2）根据平面的公理进行证明.
【详解】（1）证明：连接，因为，分别是，的中点，，；
所以，，
所以，所以，，，四点共面．
（2）证明：易知，又，所以，
结合（1）的结论可知，四边形是梯形，
因此直线，不平行．
设它们交点为，平面，同理，所以平面，
又平面平面，
因此，即，必相交且交点在直线上．
56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析；为面与面的交线
【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面；
（2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为.
【详解】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，
则平面就是过三点的平面截正方体所得截面．
（2）平面，平面，
平面平面，即平面与平面相交．
延长，设它们交于点，
直线，直线平面，平面．
直线，直线平面，平面．
为面与面的交线．
57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？
【答案】见解析
【解析】过点P点在侧面作两条相交直线与底面平行，作出这两条直线确定的平面与侧面的交线，即可求解.
【详解】在面SAB内过点P作，交SB于点E，
在面SAC内过点P作，交SC于点F，连接EF.
则面面ABC，面PEF为所作截面.
证明：∵，平面，平面，平面，
同理可证平面，，∴平面平面ABC.
【点睛】本题考查平行截面的作法以及面面平行的判定，属于基础题.
58．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面的交线，并给出证明．
【答案】见解析
【分析】过点作于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，则直线为所求．证明时可证明点，同时在平面和平面上即可．
【详解】
如图，过点作于点，
连接并延长，交的延长线于点，连接．
则直线即为图中阴影部分的平面与平面的交线．
证明如下：
因为直线，
所以，，，四点共面，
因此与相交，交点为，
因为，且，
因为平面,平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为点是平面和平面的公共点，
所以为这两平面的交线．
59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
【答案】见解析
【分析】由图形可得与不平行，，的延长线相交于一点，设此点为，推得为平面与平面的公共点，即可得证．
【详解】证明：因为在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，
所以AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，所以G∈AA1，G∈BE.
又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，
所以G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，
所以平面ACC1A1与平面BEF相交.
60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用三角形的中位线证明，从而得到四点共面；
（2）根据平面的性质，证明点P∈平面ABCD，点P∈平面ADD1A1平面，从而证明CE，D1F，DA三线共点.
【详解】（1）证明：如图所示，连接EF，CD1，A1B.
E，F分别是AB，AA1的中点，EF∥BA1.
又A1B∥D1C，EF∥CD1，
E，C，D1，F四点共面．
（2）证明：EF∥CD1，EF