备战 2025 上海高考数学模拟卷一

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．已知全集，集合，则 ．
【答案】
【分析】
根据补集的定义直接进行运算即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
2．设函数，若，则 .
【答案】2
【分析】根据函数解析式，代入求值.
【详解】函数，有，
则，解得.
故答案为：2
3．不等式的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【详解】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
考点：一元二次不等式．
4．已知平面向量，，则在方向上的投影为 ．
【答案】
【分析】先通过求出，然后直接使用在方向的投影的定义即得结果.
【详解】由于，，，从而，
故在方向上的投影为．
故答案为：.
5．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】先求得抛物线的焦点为，根据题意，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为，
因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得，
解得或（舍去），故实数的值为．
故答案为：.
6．复数，则 .
【答案】15/
【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的乘法计算即可.
【详解】，
.
故答案为：.
7．如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是 .
【答案】
【分析】连接，得到即为与平面所成的角，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
在正方体中，可得平面，
所以即为与平面所成的角，
设正方体的棱长为，则，
在直角中，.
故答案为：.
8．已知多项式对一切实数恒成立，则
【答案】
【分析】赋值可得，再用通项求出，相加即可.
【详解】令可得，
又展开式的通项为，
令可得；令，可得，
所以，
所以，
故答案为：1.
9．函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 .
【答案】
【分析】
由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案.
【详解】当时，在上必有增有减，不合题意，
故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称，
所以，所以或，故满足条件的数对为，
故答案为：.
10．非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】先求出集合的所有非空子集的个数，然后求出为奇数的集合的个数，从而求出为偶数的集合的个数，最后由古典概型的概率计算公式可求．
【详解】解：因为集合，所以集合的所有非空子集共有个，
若为奇数，则中元素全部为奇数，
又的非空子集个数，共有个，
所以为偶数的共有个，
故为偶数的概率是．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：若集合A有n个元素，则集合A的子集有个，非空子集有个.
11．设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得．
【详解】由题可设，，则
则
即，
即的最小值为到距离平方的最小值，
其中点在曲线上，在直线上，
的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
设切点为，
因为曲线导数，则，解得，所以切点为，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解.
12．数列an满足，且，为的前项和，求
【答案】
【分析】逐项代入可得，再根据等比数列求和与极限求解即可.
【详解】由题，，，，，
，，
，
，
，
.
.
故
.
又当时，，故
.
故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论.
【详解】易知，其中，
由周期公式可得其最小正周期为.
故选：A
14．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的第40百分位数为1
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变
【答案】D
【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，进一步可得回归方程，由此即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C，由相关系数公式即可判断D.
【详解】，所以样本点的中心坐标为，
将它代入得，，解得，故A错误；
对于B，当时，y的预测值为，故B错误；
对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误；
对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.
故选：D.
15．已知点为的外心，且，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】C
【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案.
【详解】三个角所对的三边分别为，
取的中点，的中点，的中点，
连接，，，则，，，
所以，
，
，
因为，
所以，即，
由余弦定理得，因为，所以，
即为钝角三角形.
故选：C.

16．已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是假命题
【答案】B
【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.
【详解】，故在上递增，
对于①，设，，
设，
，，
单调递减，单调递增，
，即，
，即，
故，故①是真命题.
对于②，由①知，，
即，
，故.
且在上递增，故，
，
故的值域为
所以，
即，故，
②是真命题.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4

(1)求证：；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理证明，
（2）由棱柱的体积公式求解高，再由二面角的定义求解，
【详解】（1）由题意得，，
平面，平面，
平面，平面
而，平面平面，
又平面平面
（2）四棱柱体积，
得，得，
过点作，垂足为，连接，
由平面，得（三垂线定理），
故即为二面角的平面角，
，得，
故，

18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，
（2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解.
【详解】（1）由，得，故，即.
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
从而，.所以.
（2）设数列满足，
因为数列为严格增数列，
故对正整数恒成立，
即对正整数恒成立，
当时，取到最小值.所以.
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
【答案】(1)；
(2)0.9；
(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81.
【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；
（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；
【详解】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，
；
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
，
.
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点外别为，设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点．

(1)求的周长；
(2)求面积的取值范围；
(3)求的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义即可得到的周长为，从而得到结果；
（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，联立直线的方程与椭圆方程，代入计算，即可得到点的坐标，同理可得点的坐标，然后表示出，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）为椭圆的两焦点，且为椭圆上的点，
，从而的周长为．
由题意，得，即的周长为．
（2）由题意可设过的直线方程为
联立，消去得，
因为直线所过定点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点，
则，
所以，
令，
则（当时等号成立，即时）
所以，
故面积的取值范围为．
（3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，
整理可得
则，得，
故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得
，
同理，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
若轴时，易知，
此时，
综上，的最大值为．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合三角形的面积公式代入计算.
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）取反例即可证明；
（2）若该函数是“增函数”，设出任意的，，则有恒成立，运算即可得；
（3）借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1，可得该方程有根，且是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有一个根，即可得的值，而后设出，结合前面得出的在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可得证.
【详解】（1）取，则，因为，
故函数不是“增函数”；
（2）因为函数是“增函数”，故任意的，，
有恒成立，
即恒成立 ，
所以恒成立，
又，，故，则，
则，即；
（3）记，
根据题意，得，
可得方程的一个解，
令，
则，令，
则， 故在上是严格增函数，
又因为，故在恒成立，故，
故在上是严格增函数，所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，
故成立；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即 ，
所以在上是严格增函数，
因为，则,故，即得证.
【点睛】本题考查函数新定义，理解新定义是关键，难点在最后一问中的的计算与“增函数”的证明，需要多次求导以得到函数的单调性，结合导数的几何意义帮助计算的值，证明为“增函数”要结合对新定义的理解，设出函数以帮助证明.
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5