宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）．
A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合
4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C D.
5. 已知圆经过点，则圆在点P处切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是
A. B. -1C. D.
7. 已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，设的中点为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. 直线平面
C. 直线与平面所成角的正切值为D. 点到平面的距离是
10. 已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆恰有两条公切线
11. 已知椭圆左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.
13. 已知过定点动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______.
14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于直线对称，且圆心在轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值.
16. 已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点．
（）求椭圆的方程．
（）当直线的斜率为时，求的面积．
17. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点.
（1）若，求证：平面平面PED；
（2）平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值.
18. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
（1）求双曲线标准方程及其渐近线方程；
（2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
19. 设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；
（3）是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】椭圆焦点在轴上,再根据基本量之间的关系求解即可.
【详解】由题,,又焦点在轴上,故焦点坐标为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量与基本概念,属于基础题.
2. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.
【详解】在直线上取点、，
故直线的一个方向向量为.
故选：A.
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）．
A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两平面法向量的垂直关系可判断两平面的位置关系.
【详解】∵平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
∵，
∴，
∴ 平面平面．
故选：C
4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可.
【详解】因为双曲线实轴的长度为，
所以，因为双曲线的一条渐近线方程是，
所以，解得，故双曲线的标准方程为，故A正确.
故选：A
5. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程.
【详解】因为圆经过点，
将点代入圆的方程可得：.即，所以，
则圆的方程为.
对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：
根据斜率公式，这里，，则.
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.
已知，所以切线的斜率.
又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），
可得切线方程为.整理得.
故选：A.
6. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是
A. B. -1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意知，直线y=3(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．
【详解】
∵椭圆的方程为，作图如右图：
∵椭圆的焦距为2c，
∴直线 y=3(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），又直线y=3(x+c)与椭圆交于M点，
∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，
∴∠MF2F1=30°，
∴∠F1MF2=90°．
设|MF1|=x，则 ，|F1F2|=2c=2x，故x=c．
∴ ，
又|MF1|+|MF2|=2a，
∴2a=（ +1）c，
∴该椭圆的离心率
故选B．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=3(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0）是关键，属于中档题．
7. 已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，设的中点为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆标准方程可得焦点的坐标,进而得直线方程.联立椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公式可得中点的坐标,即可得直线的斜率.
【详解】椭圆的标准方程为
所以半焦距,即右焦点坐标为
过右焦点的直线倾斜角为,即斜率
所以直线方程为
联立直线方程与椭圆方程,化简可得
设直线与椭圆两个交点、
则由韦达定理可得
则
由中点坐标公式可得中点
则直线的斜率为
故选:B
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,中点弦问题的解法,属于基础题.
8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比.
【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
在图②中，周长为，
所以，，可得，
在图①中，由双曲线定义可得，由椭圆的定义可得，
，则，
即，
由题意可知，的周长为，即，
所以，.
因此，与的离心率之比为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. 直线平面
C. 直线与平面所成角的正切值为D. 点到平面的距离是
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D．
【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；
对于B，取中点，连接，，，可知且，
又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面，故B正确；
对于C，取的中点，连接，则，因为平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
所以，故C错误；
对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；
故选：ABD
10. 已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆恰有两条公切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，由，得，
直线过定点，A正确；
对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误；
对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确；
对于D，圆化为，
圆的圆心为，半径为4，
两圆圆心距为，
两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确
故选：ACD.
11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由题意点在以为直径的圆上，由此即可判断A；对于B，由离心率定义结合正弦定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由的关系以及这三个三角形的高一样即可验算.
【详解】
因为，所以为正三角形，且点在以为直径的圆上，
所以，即，故A正确．
不妨设，
则的离心率为，故B错误．
，故C正确．
设的内切圆半径为，则，
，
，所以，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是得出为正三角形，且点在以为直径的圆上，由此即可逐一判断各个选项，进而顺利得解.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.
【答案】42
【解析】
【分析】求双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，即可求解
【详解】双曲线的，则，
设到它的上焦点的距离等于3，
由于，
则为上支上一点，
则由双曲线的定义可得，（为下焦点）．
则有，
则点与两个焦点所构成三角形的周长为．
故答案为：42．
13. 已知过定点的动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆位置关系可得，结合椭圆定义求方程即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
设动圆的半径为，
显然点在圆内，则，
可得，
可知动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，
则，，所以动圆的圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.
【详解】设，，则，，
即，
，即，当且仅当时等号成立，
故，即，.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于直线对称，且圆心在轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引切线MA，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可.
（2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可.
【小问1详解】
因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称，
故是圆的直径，即在直线上，
得到，而圆心在轴上，故，解得，
代入到中，得到，解得，
故圆的一般方程为，
我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为，
【小问2详解】
首先，可化为，
如图，作，且记直线为，
由勾股定理得，故，
当最小时，一定最小，MA也一定最小，
由平面几何性质得当时，取得最小值，
由点到直线的距离公式得，
故.
16. 已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点．
（）求椭圆的方程．
（）当直线的斜率为时，求的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程；
（2）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；
解析：
（）由已知，椭圆方程可设为，
∵长轴长为，离心率，
∴，，
故所求椭圆方程为．
（）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，
所以直线的方程为，设，，
由，得，解得，，
∴．
17. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点.
（1）若，求证：平面平面PED；
（2）平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理，再结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，利用向量法求出平面PED和平面ABCD的夹角的余弦值，直线BC与平面PED所成角的正弦值，即可求解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，即，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
若，则由题意得，
所以，
所以，即，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
，所以，
所以，即，
又由（1）知平面，
如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以， ，
设，，
则，
所以，所以，
为平面ABCD的法向量，
，，
设平面的法向量为，
则，
可取，
平面PED和平面ABCD的夹角为，
所以
，
直线BC与平面PED所成角为，
所以
，
所以，
因为，
所以.
18. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
【答案】（1），；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.
【小问1详解】
由离心率，又，则，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
其渐近线方程为.
【小问2详解】
直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点E0,2，
的方程为；
设
由，得，
19. 设椭圆右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；
（3）是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或或或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据已知得到关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设直线方程为，，求出直线方程，再解方程即得解；
（3）设直线的方程为，其中，，，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再就点的位置分两种情况讨论得解.
【小问1详解】
由题意可得，
且点到直线的距离
又，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线方程为，，与直线的方程联立
可得点，，
联立直线方程和椭圆方程消去，整理得，
解得，，可得，，
由，，
则直线方程，令，解得，即，
所以有，
整理得，解得或，
所以直线的方程为或或或.
【小问3详解】
设直线的方程为，其中，，，，，
联立，得，
，，，
，
当点在椭圆及外部，即时，，，
；
当点在椭圆内部，即时，，，
，
令，则，
，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，关键一，是就点的位置分两种情况讨论；关键二是灵活运用方法求函数的取值范围.