第11章　磁场 第8讲　专题提升 带电粒子在三维空间中的运动-【人教版】2025新教材高考物理一轮基础练习

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基础对点练
题组一 带电粒子在电磁场中的螺旋线运动和旋进运动
1.(2022重庆卷)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图所示),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则( )

A.静电力的瞬时功率为qEv12+v22
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
2.(2024山东枣庄模拟)如图所示,空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。t=0时刻,质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出,已知质子质量为m,电荷量为e,重力不计。则( )
A.t=πmeB时刻,质子的速度沿z轴的负方向
B.t=πmeB时刻,质子的坐标为mEπ22eB2,0,mv0eB
C.质子可多次经过x轴,且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…
D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆
题组二 带电粒子在空间电磁场中的偏转运动
3.(2024湖北华中师大新高考联盟一模)如图所示,一个圆柱体空间被过旋转轴的平面MNPQ划分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从圆柱体左侧垂直yOz平面进入磁场,并穿过两个磁场区域。质子重力忽略不计。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影可能正确的是( )
4.如图所示,在三维坐标系Oxyz中存在一长方体ABCD-abOd,yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B1(未知)的匀强磁场,右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B2(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场,经C点垂直yOz平面进入右侧磁场,此时撤去yOz平面左侧的磁场B1,加上电场强度为E(未知)的匀强电场,电场强度的方向竖直向上,最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L,Aa=L,B2=52B1,粒子的电荷量为q,质量为m(重力不计)。求:
(1)磁感应强度B1的大小;
(2)粒子第二次经过yOz平面的坐标;
(3)电场强度E的大小。
综合提升练
5.利用电磁场控制带电粒子的运动路径,在现代科学实验和技术设备中有着广泛应用。如图所示,一粒子源不断释放质量为m、电荷量为+q(q>0)、初速度为v0的带电粒子,经可调电压U加速后,从O点沿OQ方向入射长方体OMPQ-O1M1P1Q1空间区域。已知长方体边OM、OO1的长度均为d,OQ的长度为3d,不计粒子的重力及其相互作用。
(1)若加速电压U=0且空间区域加沿OO1方向的匀强电场,使粒子经过Q1点,求此匀强电场电场强度的大小。
(2)若加速电压变化范围是0≤U≤15mv022q,空间区域加沿OO1方向的匀强磁场,使所有粒子由MP边出射,求此匀强磁场的磁感应强度大小。
(3)若加速电压为15mv022q,空间区域加(2)问的匀强磁场,粒子到达O点时加方向沿OO1、电场强度大小为32mv023qd的匀强电场,一段时间后撤去电场,粒子经过P1点,求电场存在的时间。
6.(2024四川成都模拟)芯片制造过程有极其复杂的工艺,其中离子注入是一道重要的工序,该工作原理如图所示,离子经加速后沿水平方向进入速度选择器,离子在速度选择器中做匀速直线运动,然后通过磁分析器,选择出特定比荷的离子,经偏转系统后注入水平面内的晶圆(硅片)处。速度选择器中匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外,匀强电场的电场强度大小为E,方向竖直向上;磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环,其两端中心位置M和N处各有一个小孔,磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外;偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体,底面与晶圆所在的水平面重合,偏转系统中匀强磁场的磁感应强度大小为B、匀强电场的电场强度大小为E,它们的方向均垂直纸面向外;从磁分析器N处小孔射出的离子自偏转系统上表面的中心射入,当偏转系统不加电场及磁场时,离子恰好竖直注入晶圆上的O点。以O点为坐标原点,偏转系统中以磁场的方向为x轴正方向,水平向左为y轴正方向,建立平面直角坐标系。整个系统置于真空中,不计离子重力,打到晶圆上的离子经过电场和磁场偏转的角度都很小,而当α很小时,有以下近似计算:sin α≈α,1-cs α≈α22。求:
(1)离子的电性及通过速度选择器后的速度大小;
(2)从磁分析器出来的离子的比荷;
(3)偏转系统同时加上电场和磁场时,离子注入晶圆的位置坐标。
参考答案
第8讲 专题提升:带电粒子在三维空间中的运动
1.D 解析 根据功率公式可知P=Fvcs θ,则静电力的瞬时功率为P=Eqv1,A错误;由于v1与磁场B平行,根据洛伦兹力公式可知F洛=qv2B,B错误;根据运动的叠加原理可知,离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动,沿磁场方向做加速运动,则v1增大,v2不变,v2与v1的比值不断变小,C错误;离子受到的安培力不变,静电力不变,则该离子的加速度大小不变,D正确。
2.C 解析 沿x轴方向,在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,根据左手定则,洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向,可判断质子在yOz平面做匀速圆周运动,所以质点运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆;当t=πmeB=12T时,在yOz平面质子分速度方向沿y轴负方向,沿x轴方向分速度沿x轴正方向,所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向,A、D错误。当t=πmeB=12T时,沿x轴方向Ee=ma,x=12at2=12·Eem·πmeB2=π2mE2eB2,在yOz平面内,正好经过半个周期,则y=0,z=-2r=-2mv0eB,所以质子的坐标为mEπ22eB2,0,-2mv0eB,B错误。质子每经过一个周期可经过一次x轴,沿x轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…,C正确。
3.D 解析 根据左手定则,质子所受的磁场力和磁场方向垂直,质子始终在xOy平面内运动,在圆柱体左侧做顺时针圆周运动,在圆柱体的右侧做逆时针圆周运动,其运动轨迹在xOy平面的投影如图所示,A、B错误;
质子始终在平行于xOy的平面内运动,z轴坐标为正值且不变,其运动轨迹在yOz平面的投影始终出现在y轴负半轴,运动轨迹可能如图所示,C错误,D正确。
4.答案 (1)2mv5qL (2)0,L2,L2 (3)mv24qL
解析 (1)带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动,由几何关系得
R2=(2L)2+(R-L)2
解得R=52L
由牛顿第二定律得
qvB1=mv2R
解得B1=2mv5qL。
(2)在右侧磁场中由牛顿第二定律得
qvB2=mv2r
解得r=24L
由几何关系得y1=2rsin 45°=L2,z1=L-2rcs 45°=L2
即坐标为0,L2,L2。
(3)粒子在电场中做类平抛运动,x轴方向上
2L=vt
y轴方向上
L-y1=12qEmt2
解得E=mv24qL。
5.答案 (1)2mv023qd (2)2mv0qd (3)πd6v0−d4π2-2712v0
解析 (1)仅加电场时粒子做类平抛运动,由类平抛规律得
qE=ma,d=12at2,3d=v0t
解得E=2mv023qd。
(2)粒子经加速电场加速,由动能定理得
qU=12mv2-12mv02
由0≤U≤15mv022q可得v0≤v≤4v0
仅加磁场时粒子做匀速圆周运动,从M点以v0出射的粒子对应所加的磁场最大
由几何关系得r1=d2
由牛顿第二定律得qv0Bmax=mv02r1
解得Bmax=2mv0qd
从P点以4v0出射的粒子对应所加的磁场最小
由几何关系得r22=(3d)2+(r2-d)2
由牛顿第二定律得4qv0Bmin=m(4v0)2r2
解得Bmin=2mv0qd
综上,所加匀强磁场的磁感应强度大小为B=2mv0qd。
(3)带电粒子在垂直OO1的方向上做匀速圆周运动,结合几何关系可知,轨迹所对应的圆心角为60°,粒子运动时间
t0=16×2πmqB=πd6v0
沿OO1方向,当电场存在时间最短时,粒子由O点开始先做匀加速运动再做匀速运动,有
vy=at',q·32mv023qd=ma
d=12at'2+vy(t0-t')
解得t=πd6v0−d4π2-2712v0。
6.答案 (1)带正电荷 EB
(2)2E(R1+R2)B2
(3)L2R1+R2,L2R1+R2
解析 (1)离子在速度选择器中受力平衡,有Eq=Bqv
得离子速度大小v=EB
利用离子在磁分析器中的偏转,根据左手定则可知离子带正电荷。
(2)离子在磁分析器中运动的轨道半径R=R1+R22
由洛伦兹力提供向心力得qvB=mv2R
联立解得qm=2E(R1+R2)B2。
(3)离子进入偏转系统后,在垂直于磁场方向做匀速圆周运动,轨道半径仍为R,设偏转角为α,如图所示
则偏转距离y=R(1-cs α),而L=Rsin α
由于α很小,可知sin α≈α,1-cs α≈α22
得y=L2R1+R2
离子在偏转系统中运动的时间t=Rαv
在沿着电场方向做匀加速运动,可知x=12at2,其中a=Eqm
联立解得x=L2R1+R2
因此离子注入晶圆的位置坐标为L2R1+R2,L2R1+R2。