辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列说法，正确的有，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数 学
命题人：沈阳市第五十六中学 王璇 评审题人：康平县高级中学 何庆超
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
4.设等差数列中，，使函数在时取得极值0，则的值是（ ）
A.2或B.2C.D.
5.在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（ ）
A.16B.C.D.
6.已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A.B.0C.D.
7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A.0B.16C.22D.32
8.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A.4B.C.8D.
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。
9.下列说法，正确的有（ ）.
A.已知，，则向量在向量上的投影向量是
B.函数，向左平移后所得的函数为奇函数.
C.已知，则
D.在中，若，则为等腰三角形
10.下列说法正确的是（ ）.
A.函数在区间的最小值为
B.函数的图象关于点中心对称
C.已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为
D.若恒成立，则实数的取值范围为
11.在边长为4的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A.与所成角的余弦值为
B.三棱锥外接球表面积为
C.当在线段上运动时，的最小值为6
D.若为正方体表面上的一个动点，、分别为的三等分点，则的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列，其前项和为，则______.
13.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为______.
14.已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
16.（15分）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17.（15分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，当时，在区间上，若对于任意两个自变量的值，都有，求实数的范围.
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求正弦曲线曲率的平方的最大值.
（3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
2024-2025学年度上学期沈阳市重点高中联合体期中考试
高三数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。
9.ACD 10.ABD 11.AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.5000 13. 14.2
三、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
【详解】（1）由及正弦定理得，……2分
故，……4分
在中，，，所以，
可得，而，故即……6分
（2）由正弦定理的得，，
因为，则，……8分
所以，……10分
因为为锐角三角形，则，，，故，
所以周长的取值范围……13分
16.（15分）
当时，，解得.……2分
因①，
当时，②
①-②得，，即，……4分
则，即，，又.……6分
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.，即，……8分
（2）由（1）可得：……10分
令……13分
所以……15分
17.（15分）
【详解】（1）由，得
，……2分
所以，所以，……3分
所以，所以，……4分
所以曲线在处的切线方程为，即.……6分
（2）由（1）可得，
，……7分
因为，所以，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，……9分
所以的最小值.
又，，所以，
从而的最大值，……11分
所以设，
则，
由，知，所以单调递增，……13分
因为，，
所以的取值范围为
所以的范围为……15分
18.（17分）
【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，
，，……2分
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面.……5分
（2），，，，，……6分
平面平面，平面平面，平面，
平面，……8分
又，平面，，而，，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图：则，，，，
为棱的中点，
，
（i），，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，，……11分
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为……13分
（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，
则，，
由（2）知平面的一个法向量为，
，……15分
点到平面的距离是
，.……17分
19.（17分）
解：（1）因为，所以，，……2分
所以，……3分
（2）由，，则，
，令，则，故，……5分
设，则，在时，递减，
所以，最大值为1.……8分
（3）因为，，
则.……9分
①当时，因为，
所以在上单调递减.所以.
所以在上无零点.……11分
②当时，因为单调递增，且，，
所以存在，使.……12分
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.……13分
所以.设，，
，
所以在上单调递减，在上单调递增.……14分
所以.
所以，得.
所以。所以在上存在一个零点.……16分
所以在有2个零点.综上所述，在上的零点个数为2……17分