浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，“”是“直线与圆相切”的，若复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高二年级数学学科试题
命题：严州中学新安江校区 刘景红
审核：嵊州中学 俞海东 桐庐中学 王燕萍
校稿：蒋青松
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟：
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A.12 B.11 C.10 D.9
3.若复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
4.已知平面向量为单位向量，若，则（ ）
A.0 B.1 C. D.3
5.“”是“直线与圆相切”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线与动圆，下列说法正确的是A.直线过定点
B.当时，若直线与圆相切，则
C.若直线与圆相交截得弦长为定值，则
D.当时，直线截圆的最短弦长为
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.若复数，则下列说法正确的是（ ）
A.的虚部是
B.的共轭复数是
C.的模是
D.在复平面内对应的点在第二象限
10.如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（ ）
A.存在使得
B.任意，使得
C.存在，使得共面
D.任意，使得共面
11.已知曲线的方程，则以下结论正确的是（ ）
A.无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称
B.无论实数取何值，曲线都是封闭图形
C.当时，曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）
D.当时，曲线所围成的区域的面积小于3
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是__________.
13.已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是__________.
14.已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：
（2）已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差；
（3）若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
16.（本题满分15分）在中，内角的对边分别为，若
（1）求的大小；
（2）若是线段上一点，且，求的最大值.
17.（本题满分15分）在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点
（1）求圆的方程；
（2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.
18.（本题满分17分）如图所示，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求四棱锥的体积；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
19.（本题满分17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当轴，求的面积；
（3）若分别记的斜率分别为，求的最大值.
2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学
高二年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15.（本题13分）
（1）人，人，不高于50分的抽到人
（2）由题意可知，解得
由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人
故，
（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A
则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为
16.（本题15分）
（1）由题意，根据正弦定理得，
即，
根据余弦定理可知.
（2）由题意在边上一点，且，可得，
，
故
当且仅当时取到等号，
故的最大值为，当且仅当时取到等号
17.（本题满分15分）
（1）在平面直角坐标系中，圆与轴相切，
设圆方程为，又圆过点，
则，
可得，故圆的方程为
（2）显然当直线斜率为0时不合题意，设直线
将直线与圆联立方程组：，整理得，
整理可得，即
可得，
化简可得，
经验证
所求的直线方程为
18.（本题满分17分）
（1）取的中点是的中位线，
，又，
四边形是平行四边形
，又平面平面
平面.
（2）取的中点是以为斜边的等腰直角三角形
，
取的中点，底面是等腰梯形，
是二面角的平面角
连接
，
在中，，
在中，
，
二面角的平面角
（3）根据第（2）题，二面角的平面角，
平面平面，如图，建系，不妨令，
则
设平面的法向量是
，令，解得
设平面的法向量是
，令，解得
设二面角的平面角大小为
二面角的平面角的余弦值为
19.（本题满分17分）
（1）由题意：，可得：，
故椭圆方程
（2）设，当时，由在第一象限，可得，
即，故求得直线方程为，
联立方程，得，
整理得，
，所以
（3）方法一､设，因为在椭圆上，故，由题意
故将直线与椭圆联立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，
即
同理：将直线与椭圆联立方程，
代入可得
整理可得：，
所以，
即，即，
所以
故
由在第一象限内，故的最大值为，当且仅当在处取到等号
方法二：由方法一可知：也可以先求出由题意，故题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
A
C
D
C
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
AC