所属成套资源：安徽省鼎尖教育联盟2025届高三上学期11月期中联考试题

成套系列资料，整套一键下载

浏览整套资料 (共6份)

安徽省鼎尖教育联盟2025届高三上学期11月期中联考试题数学试题（含答案）

展开

这是一份安徽省鼎尖教育联盟2025届高三上学期11月期中联考试题数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x| x−1<2}，N={x|x2−x−2<0}，则M∩N=
A. {x|−12.若复数z满足z(1+2i)=3+i，则z=
A. 1+iB. 1−iC. 2+iD. 2−i
3.已知曲线f(x)=eax−1−ln(x+1)，(x>−1)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y+5=0垂直，则a的值为
A. 1B. −1C. 3D. −3
4.已知α∈π2,π， 2cs2α=sinα−π4，则sin 2α=
A. −14B. 14C. −34D. 34
5.已知函数f(x)=lga(2x−1)+32,x≥1,x+2ax,0A. 0,14B. 0,12C. 14,1D. 12,1
6.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A=π3，O为其外心．若△ABC外接圆半径为R，且csBc⋅AB+csCb⋅AC=12R⋅mAO，则m的值为
A. 1B. 3C. 2D. 34
7.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PA=3，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是
A. ∠PAB=90°
B. 当平面PCD⊥平面PAB时，PD=5
C. M，N分别为AD，PC的中点，则MN//平面PAB
D. 四棱锥P−ABCD外接球半径的最小值为2 2
8.函数f(x)=x−1x(x≠0)的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1=1，1cn=f(n)(n∈N,n≥2)，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则
A. 53≤Sn<2B. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a+b=4，则
A. 1a+1b≥1B. a+ b≥2 2
C. a2+2b≥8D. a+2bb+2a≥8
10.已知函数f(x)=x(ex−e−x)，∀θ∈R，f(3t+tcsθ−2−sinθ)≤f(2+sinθ)恒成立，则
A. f(x)是偶函数
B. f(x)在(0,+∞)上单调递增
C. t可以取13
D. 当t= 24时，f(3t+tcsθ−2−sinθ)的取值范围是e−1e,2e2−1e2
11.如图，三棱台ABC−A1B1C1中，M是AC上一点，AM=12MC，CC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=CC1=2A1B1=2，则
A. 过点M有四条直线与AB，BC所成角均为π3
B. BB1⊥平面AB1C
C. 棱A1C1上存在点Q，使平面AB1Q//平面BMC1
D. 若点P在侧面ABB1A1上运动，且CP与平面ABB1A1所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(x−1,1)，b=(2,3)，若b⊥(a+b)，则x= ．
13.[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]=2，[π]=3，….已知等差数列{an}的通项公式an=2n+1，其前n项和为Sn，则使 S1+ S2+…+ Sn≤2025成立的最大整数为．
14.某同学在同一坐标系中分别画出曲线C：y=sinx，曲线D：y=2csx，曲线E：y=−2csx，作出直线x=αα∈0,π2，x=ββ∈π2,π.直线x=α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，测得|MN|=13；直线x=β交曲线C、E于P、Q两点，且P在Q上方，测得|PQ|=23.则cs(α+β)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin 2A=cs 2B，且A>B≥π4．
(1)求A−B的值；
(2)若a= 2b=2，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x+4x+3,(x<0且x≠−3),f(x−3),(x>0).
(1)求函数f(x)在区间(0,3)上的解析式；
(2)已知点A(2,−1)，点M是函数f(x)在区间(0,3)上的图象上的点，求|MA|的最小值．
17.(本小题15分)
如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA=AC=BC=3，D为PC的中点，G在线段PB上，且DG= 62．
(1)证明：AD⊥PB；
(2)若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−lnx−1有两个零点x1，x2(x1(1)解不等式g(x)>0；
(2)求实数a的取值范围；
(3)证明：x1+x2>2−lnaa．
19.(本小题17分)
定义数列{an}为“阶梯数列”：a1=11，a2=11+11，a3=11+11+11，……，an=11+11+1…1+11．
(1)求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；
(2)证明：对k∈N ∗，数列{a2k−1}为递减数列；
(3)证明：ak+1−ak≤12⋅49k−1．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.A
9.AD
10.ABC
1.ACD
12.−7
13.63
14.−2 451−245
15.(1)sin2A=cs2B=sin(π2−2B)，
故2A=π2−2B或2A+π2−2B=π，
当2A=π2−2B时，A=π4−B≤0不合题意，
故2A+π2−2B=π⇒A−B=π4;
(2)a= 2b⇒sinA= 2sinB，即sin(B+π4)= 2sinB，
∴ 22sinB+ 22csB= 2sinB⇒sinB=csB，
∵π4≤B<3π4，∴B=π4，故A=π2，C=π4，
故S△ABC=12absinC=12×2× 2× 22=1．
16.解：(1)由题可知在(0,3)上，f(x)=f(x−3)，
而x−3<0，所以f(x−3)=x−3+4x−3+3=x+1x，
即在(0,3)上，f(x)=x+1x;
(2)设M(x0,y0)，
|MA|2=(x0−2)2+(y0+1)2=(x0−2)2+(x0+1x0+1)2=(x02+1x02)+4(1x0−x0)+8=(1x0−x0)2+4(1x0−x0)+10=(1x0−x0+2)2+6≥6，
当且仅当1x0−x0+2=0时，取得等号，解得x0= 2+1∈(0,3)，
故|MA|的最小值为 6
17.解：(1)证明：因为PA⊥底面ABC，且BC⊂底面ABC，
所以PA⊥BC，
因为PA∩AC=A，且PA，AC⊂平面PAC，AC⊥BC，
所以BC⊥平面PAC，
又因为AD⊂平面PAC，所以BC⊥AD，
因为PA=AC，且D为PC的中点，
所以AD⊥PC，
又因为PC∩BC=C，且PC，BC⊂平面PBC，
所以AD⊥平面PBC，
因为PB⊂平面PBC，所以AD⊥PB;
(2)根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，
AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
PA=AC=BC=3，
可得A(0,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，P(0,0,3)，D(0,32,32)，
则PB=(3,3,−3)，PD=(0,32,−32)，
因为G在线段PB上，设PG=λPB=(3λ,3λ,−3λ)，
其中0<λ<1，
则DG=PG−PD=(3λ,3λ−32,−3λ+32)，
因为DG= 62，
可得9λ2+(3λ−32)2+(−3λ+32)2=64，所以λ=13，
所以G(1,1,2)，H(2,2,1)，
可得AD=(0,32,32)，AG=(1,1,2)，AG=(2,2,1)，
设平面ADG的法向量为n=(x,y,z)，则n·AD=32x+32z=0n·AG=x+y+2z=0令y=1，可得x=1，z=−1，所以n=(1,1,−1)，
设平面ADH的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AD=32y+32z=0m⋅AH=2x+2y+z=0,令y=1，可得x=−12，z=−1，所以m=(−12,1,−1)，
设平面ADG与平面ADH的夹角为θ，
可得csθ=|n⋅m|n⋅m=32 3×32= 33，
故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为 33．
18.(1)g′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，
故g(x)为(0,+∞)上的增函数，
由题可知g(1)=0，g(x)>0，即g(x)>g(1)，
∴g(x)>0的解集为(1,+∞).
(2)f′(x)=a−1x，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)为减函数，不符合题意;
当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)<0，x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0．
又x→0时，f(x)→+∞;x→+∞时，f(x)→+∞．
∵f(x)有两个零点，故f(1a)=1−ln1a−1=−ln1a=lna<0，
解得0(3)由(2)知：x1<1a∴ax1=lnx1+1=lnax1+1−lna，
由(1)知0∴lnx<2(x−1)x+1，
∵0∴ax1<2(ax1−1)ax1+1+1−lna，
化为−a2x12−(alna−2a)x1>lna+1 ①，
同理：ax2=lnax2+1−lna，
lnax2>2(ax2−1)ax2+1，
可化为a2x22+(alna−2a)x2>−lna−1 ②，
②+ ①得：a2(x22−x12)+(alna−2a)(x2−x1)>0
化简得：x1+x2>2−lnaa．

19.(1)由阶梯数列的形式结构可知an+1=11+an;
(2)a2k+1−a2k−1=11+a2k−11+a2k−2=11+11+a2k−1−11+11+a2k−3
=1+a2k−12+a2k−1−1+a2k−32+a2k−3=a2k−1−a2k−3(2+a2k−1)(2+a2k−3)，
∴a2k+1−a2k−1a2k−1−a2k−3=1(2+a2k−1)(2+a2k−3)>0，
同理a2k−1−a2k−3a2k−3−a2k−5>0，⋯⋯，a5−a3a3−a1>0，
累乘得a2k+1−a2k−1a2k−1−a2k−3⋅a2k−1−a2k−3a2k−3−a2k−5⋅⋯⋯a5−a3a3−a1>0，
即a2k+1−a2k−1a3−a1>0，
a3−a1=23−1=−13<0，
∴a2k+1−a2k−1<0，
故对k∈N∗，{a2k−1}为递减数列;
(3)ak+2−ak+1=11+ak+1−11+ak=ak−ak+1(1+ak+1)(1+ak)
|ak+2−ak+1||ak+1−ak|=1(1+ak+1)(1+ak)，
又对k∈N∗，a2k+2−a2k=11+a2k+1−11+a2k−1=a2k−1−a2k+1(1+a2k+1)(1+a2k−1)，
由(2)知a2k−1−a2k+1>0，
故a2k+2>a2k⇒a2k>a2k−2>⋯>a2=12，
又a2k+1=11+a2k>11+12=23>12，
故对n∈N∗，an>12，
∴|ak+2−ak+1||ak+1−ak|=1(1+ak+1)(1+ak)<1(1+12)2=49，
∴|ak+1−ak||ak−ak−1|⋅|ak−ak−1||ak−1−ak−2|⋯⋯|a3−a2||a2−a1|<(49)k−1
∴|ak+1−ak|<|a2−a1|⋅(49)k−1=12⋅(49)k−1(k≥2)，
当k=1时，|a2−a1|=12，
综上，|ak+1−ak|≤12⋅(49)k−1．