2025年中考数学二轮培优练习 重难点05 二次函数与几何的动点及最值 存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc155794603" 题型01 平行y轴动线段最大值与最小值问题
\l "_Tc155794604" 题型02 抛物线上的点到某一直线的距离问题
\l "_Tc155794605" 题型03 已知点关于直线对称点问题
\l "_Tc155794606" 题型04 特殊角度存在性问题
\l "_Tc155794607" 题型05 将军饮马模型解决存在性问题
\l "_Tc155794608" 题型06 二次函数中面积存在性问题
\l "_Tc155794609" 题型07 二次函数中等腰三角形存在性问题
\l "_Tc155794610" 题型08 二次函数中直角三角形存在性问题
\l "_Tc155794611" 题型09 二次函数中全等三角形存在性问题
\l "_Tc155794612" 题型10 二次函数中相似三角形存在性问题
\l "_Tc155794613" 题型11 二次函数中平行四边形存在性问题
\l "_Tc155794614" 题型12 二次函数中矩形存在性问题
\l "_Tc155794615" 题型13 二次函数中菱形存在性问题
\l "_Tc155794616" 题型14 二次函数中正方形存在性问题
二次函数常见存在性问题：
（1）等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.
【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.
（2）平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.
（3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
（4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.
（5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.
2.二次函数与三角形综合
(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：
①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;
②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.
(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.
(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.
注：其他常见解题思路有：
①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；
②平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解．
（4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.
情况一 探究三角形相似的存在性问题的一般思路：
解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：
①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；
②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；
③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．
情况二 探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．
3.二次函数与四边形的综合问题
特殊四边形的探究问题解题步骤如下：
①先假设结论成立；
②设出点坐标，求边长；
③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：
a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．
b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．
c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．
d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.
题型01 平行y轴动线段最大值与最小值问题
1．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
(4)在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点C0，-4，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线AC交PD于点E．已知抛物线的顶点P坐标为-3，-254．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A、B的坐标和直线AC的解析式；
(3)求当线段CP=CE时m的值；
(4)连接BC，过点P作直线l∥BC交y轴于点F，试探究：在点P运动过程中是否存在m，使得CE=DF，若存在直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
3．（2023·山东聊城·统考三模）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P为抛物线上的动点．

(1)求b，c的值；
(2)若P为直线AC上方抛物线上的动点，作PH∥x轴交直线AC于点H，求PH的最大值；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线AC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．
题型02 抛物线上的点到某一直线的距离问题
4．（2023·广东梅州·统考二模）探究求新：已知抛物线G1:y=14x2+3x-2，将抛物线G1平移可得到抛物线G2:y=14x2．
(1)求抛物线G1平移得到抛物线G2的平移路径；
(2)设T0,t，直线l：y=-t，是否存在这样的t，使得抛物线G2上任意一点到T的距离等于到直线l的距离？若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由；
(3)设H0,1，Q1,8，M为抛物线G2上一动点，试求QM+MH的最小值．
参考公式：若点Mx1,y1，Nx2,y2为平面上两点，则有MN=x1-x2²+y1-y2² ．
5．（2023·湖北宜昌·统考一模）如图，已知：点P是直线l：y=x-2上的一动点，其横坐标为m（m是常数），点M是抛物线C：y=x2+2mx-2m+2的顶点．
(1)求点M的坐标；（用含m的式子表示）
(2)当点P在直线l运动时，抛物线C始终经过一个定点N，求点N的坐标，并判断点N是否是点M的最高位置？
(3)当点P在直线l运动时，点M也随之运动，此时直线l与抛物线C有两个交点A，B（A，B可以重合），A，B两点到y轴的距离之和为d．
①求m的取值范围；
②求d的最小值．
6．（2023·云南楚雄·统考一模）抛物线y=x2-2x-3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图①，当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
(3)如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m，求FPOP的值（用含m的式子表示）．
题型03 已知点关于直线对称点问题
7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A-1，0，B两点，与y轴相交于点C0，-3．

(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；
(3)在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P'，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P'的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．

(1)求m的值及AC的长；
(2)求EF的长；
(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线y=-x对称，连接PQ，求PQ的最大值及此时Q点的坐标．
题型04 特殊角度存在性问题
10．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，抛物线y=18x2+34x-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．P是直线AC下方抛物线上一个动点，过点P作直线l∥BC，交AC于点D，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交AC于点F．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
(2)当线段PF取最大值时，求△DPF的面积；
(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠CAQ=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A-6,0，D-1,5两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作PE⊥AD于点E．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)连接BC，OP，试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得∠OPE=∠BCO，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，B4,0，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；
(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型05 将军饮马模型解决存在性问题
13．（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-3,0,B1,0，与y轴交于点C．

(1)
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC，点A的坐标为-2,0，抛物线的对称轴为直线x=1．

(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)在直线x=1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；
(3)将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与抛物线有唯一交点，请直接写出a的取值范围．
15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
题型06 二次函数中面积存在性问题
16．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC，tan∠ABC=2．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1:2的两部分，若存在，求点G的横坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·广东汕头·统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
．
18．（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A-1，0、B3，0两点，交y轴于C，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
(3)抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE=45°，请求出点G的坐标．
19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y关于x的函数y=a-2x2+a+1x+b．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
题型07 二次函数中等腰三角形存在性问题
20．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，其中A1，0，B-3,0，点P从A点出发，在线段AB上以1单位长度/秒的速度向B点运动，运动时间为t秒0
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，△CPQ的面积最大？并求出△CPQ面积的最大值；
(3)点P出发的同一时刻，点M从B点出发，在线段BC上以52单位长度/秒的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BMP为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A-2,0和点B，与y轴交于点C0,8，顶点为D，连接AC，CD，DB，P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线BC上一点，求MO+MA的最小值；
(4)过P点作PE⊥x轴，交BC于E点．是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）如图，二次函数y=12x2+bx-32的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

(1)b= ___；点D的坐标：___；
(2)线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．
(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
题型08 二次函数中直角三角形存在性问题
24．（2023·辽宁营口·校联考一模）已知直线l与x轴、y轴分别相交于A(1,0)、B(0,3)两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4 (a<0)经过点B，交x轴正半轴于点C．

(1)求直线l的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点M，连接AM、BM，求△AMB面积的最大值及点M的坐标．
(3)抛物线上是否存在点P使△CBP为直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标-1,0，C点坐标0,5．

(1)求抛物线的函数关系式和点A坐标；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点Q的坐标．
26．（2023·广东珠海·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A-2,0，交x轴于另一点B，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；
(3)在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-1,0,B3,0,C0,-3，点P在第四象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当点P的横坐标为1时，求四边形BOCP的面积；
(3)连接PC,AC，记△DPC的面积为S1，记△DAC的面积为S2，求S1S2的最大值及此时点P的坐标；
(4)在（3）的条件下试探究：该拋物线上是否存在点Q，使△APQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
题型09 二次函数中全等三角形存在性问题
28．（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A-1,0，B两点，与y轴交于点C0,-3．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点Pm,n在抛物线上，当-1(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y=14x2-2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．

(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点O和点B，顶点为A1，1，直线y=x-2经过点B，且与抛物线交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，是否存在以O，M，N为顶点的△ONM，使得△ONM和△ABC全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型10 二次函数中相似三角形存在性问题
31．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点C0,3，顶点为D-1,4．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点E，连接PC，是否存在点P，使得△PCE与△BME相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023·广东潮州·统考三模）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于点A-1，0、B3，0，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
33．（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A-1,0，B3,0，C是抛物线与y轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点Pm,n在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN=90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
34．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2+nx+4m≠0的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A的坐标为-3,0，点B的坐标为1,0，以OA，OC为边作矩形OADC，且边CD交二次函数的图象于点M．

(1)求二次函数的表达式．
(2)现有一条垂直于x轴的直线x=a在A，O两点间（不包括A，O两点）左右移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点P，交二次函数的图象于点Q，请用含a的代数式表示QP的长．
(3)在（2）的条件下，连接QC，则在CD上方的二次函数的图象上是否存在这样的点Q，使得以Q，C，F为顶点的三角形和△AEP相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
题型11 二次函数中平行四边形存在性问题
35．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，抛物线F:y=ax2-2ax-8a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线x=3交x轴于点D．

(1)若OB=OC，直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线x=3上是否存在F，G两点，使得C，E，F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点P0,12处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足∠MQN=90°，求此时点Q的坐标．
36．（2023·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A-3,-4,B0,-1．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA,PB，求△PAB面积的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
37．（2023·湖南岳阳·校联考一模）如图，抛物线y=12x2-2x-6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于点A0,-2，B2,0．

(1)求直线AB的解析式；
(2)求该抛物线的解析式；
(3)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D．
①在P点的运动过程中是否存在四边形PCDB为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求点P的坐标；
②求PC+PD的最大值及此时点P的坐标．
题型12 二次函数中矩形存在性问题
39．（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0、B3,0两点，D为抛物线上的一点，连接AD与y轴交于点C,CD=4AC ，E为抛物线在x轴上方的一动点，连接AE、CE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D的坐标为_______________；
(3)求△ACE的面积的最大值及此时点E的坐标；
(4)点P是抛物线上一点，在平面内是否存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023·海南·统考中考真题）如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B3,0两点，交y轴于点C0,-3．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为1,-4时，求四边形BACP的面积；
(3)当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线PA，PB分别与直线DH交于点G和点I，求证：点D是线段IG的中点．
41．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）综合与探究
如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D1,4与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
题型13 二次函数中菱形存在性问题
42．（2023·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
43．（2022·陕西·校考模拟预测）如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．

(1)求二次函数解析式；
(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为C、P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）综合与探究
如图，二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-4，0)，且OA=OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线AC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型14 二次函数中正方形存在性问题
45．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
46．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y轴于点C0,3．

(1)请求出抛物线Q1的表达式．
(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
47．（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D．交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值；
(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．问题
分情况
找点
画图
解法
等腰三角形
已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形
以AB为腰
分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求
分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标
以AB为底
作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P3即为所求
分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标
问题
分情况
找点
画图
解法
直角三角形
已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形
以AB为直角边
分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求
分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标
以AB为斜边
以AB的中点Q为圆心，QA为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求