2024-2025学年河南省新乡市高一上学期10月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省新乡市高一上学期10月月考数学质量检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了 集合，，，且，，则， 已知，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，使得”否定形式为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2. 设全集，集合，则子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
5. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A 或B. 或
C. D.
6. 集合，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D. 不属于，，中的任意一个
7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于x不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则，
11. 已知正实数a，b，c满足，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则 ______.
13. 已知命题，，命题，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则a的取值范围为______.
14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知，，且.
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值.
16. 已知全集，集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求m的取值范围.
17. 已知命题，使得.
（1）若p是真命题，求a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，关于t的不等式的解集为集合B，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.
18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
19 已知函数.
（1）若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值；
（2）若，，，是关于x的的根，求的最小值；
（3）若，解关于x的不等式.
2024-2025学年河南省新乡市高一上学期10月月考数学质量
检测试题
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，使得”的否定形式为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D ，
【正确答案】D
【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“，使得”的否定形式为“，”.
故选：D.
2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【正确答案】B
【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数.
【详解】由题意，全集，
因为，可得，
所以，所以的子集个数为个.
故选：B.
3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先解不等式，求出其解集，根据充分不必要条件的概念进行判断即可.
【详解】因为.
设它的充分不必要条件为，则集合满足是的真子集.
结合选项知，满足题意，故C成立.
故选：C
4. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【正确答案】B
【分析】参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，总共有30人，而参加比赛的人数为24人，则多出来的的人数为田赛和径赛都参加的人数.
【详解】因为参加比赛的总人数为24人，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，
所以田赛和径赛都参加的学生人数为：人.
故选：B
5. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【正确答案】A
【分析】由一元一次不等式的解集可知的关系，再求解一元二次不等式.
【详解】由不等式的解集是，可知，且，
ax+bx−2>0⇔ax+4ax−2>0，即，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：A
6. 集合，，，且，，则（ ）
A B.
C. D. 不属于，，中的任意一个
【正确答案】B
【分析】由已知可得，，可得，可得结论.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，，
所以，
，
而，所以，当时等号成立，
所以三角形面积的最大值为.
故选：B
8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果.
【详解】由题意，且16−44−a>0，且，解得，则，
设不等式的解集为.
因为时，不成立，所以；因为时，，所以.
又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3.
由.
综上所述.
故选：C
关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【正确答案】ABD
【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果.
【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意；
对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意；
对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意；
对D：集合表示函数值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意.
故选：ABD
10. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则，
【正确答案】BCD
【分析】举反例排除A，利用不等式的基本性质判断BCD，从而得解.
【详解】A选项：，满足条件，但是，故A选项错误；
B选项：由题意，，所以，故B选项正确；
C选项，因为，故C选项正确；
D选项，因为，，所以，
又因为，所以，，故D选项正确；
故选：BCD.
11. 已知正实数a，b，c满足，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最大值为
【正确答案】AC
【分析】根据条件进行变形，再利用均值不等式即可求解.
【详解】因为正实数，，满足，所以，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
即，解得：，故，
的最小值为1，此时,故A正确；
，B错误；
，故C正确,D错误
故选:AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则 ______.
【正确答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得或，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为，可得或，解得或，
当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，可得，符合题意.
故答案为.
13. 已知命题，，命题，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则a的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】分别求命题为真命题和命题为真命题的的取值范围，再求交集，即可求解.
【详解】由题意可知，，即，
若是假命题，则，使得，是真命题，
即，得，
若是真命题，是假命题，则，即.
故
14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______.
【正确答案】5
【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解.
【详解】中，，所以方程有两个不同的实数根，
即，
若，则或，
当时，方程，只有实数根，所以且，得；
当时，方程，
时，方程有个不等的实数根，分别为和，
0不是方程的实数根，
若是方程的实数根，则，
若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，
若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，
若不是方程的实数根，
所以方程有个相等的实数根，即，得，
当时，，满足条件，
当时，，满足条件，
所以，.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知，，且.
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值.
【正确答案】（1）2 （2）
【分析】（1）根据基本不等式，即可求解；
（2）根据，代入，转化为二次函数求最小值.
【小问1详解】
，，得，
当时，等号成立，
所以的最大值为2；
【小问2详解】
，
，
当时，时，取得最小值.
16 已知全集，集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求m的取值范围.
【正确答案】（1）；或；
（2）
【分析】（1）首先分别求解两个集合，再代入集合的运算公式，即可求解；
（2）首先判断，再讨论和两种情况，根据端点值列不等式，即可求解.
【小问1详解】
，解得：，
即，
当时，，所以，
或，或；
【小问2详解】
由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是.
17. 已知命题，使得.
（1）若p是真命题，求a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，关于t的不等式的解集为集合B，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由可求a的取值范围.
（2）问题转化为是的真子集，根据集合的包含关系可求m的取值范围.
【小问1详解】
由.
所以a的取值范围为：
【小问2详解】
由题意：是的真子集.
由.
若，则，由是的真子集，得；
若，则，此时是的真子集；
若，则，由是的真子集，得.
综上，m的取值范围为.
18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
【正确答案】（1），
（2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.
【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值.
（2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值.
【小问1详解】
由题意，，
因为时，，所以，
所以，.
【小问2详解】
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取“”，
所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.
19. 已知函数.
（1）若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值；
（2）若，，，是关于x的的根，求的最小值；
（3）若，解关于x的不等式.
【正确答案】（1），.
（2）4 （3）答案见解析.
【分析】（1）问题转化为方程的两根为，利用韦达定理求.
（2）利用韦达定理，表示出，利用基本（均值）不等式求最小值，需要分析等号成立的条件.
（3）根据参数的不同取值，分情况讨论一元二次不等式解集的形式.
【小问1详解】
由题意：方程的两根为，且
所以；.
所以，.
【小问2详解】
由韦达定理可得：，，
所以.
因为，所以，（当且仅当时取“”）.
又当时，方程为，因为，所以方程由两个根.
所以的最小值为4.
【小问3详解】
当时，原不等式为.
若，则原不等式可化为：；
若，则原不等式可化为.
当时，，因为a−3a>0，所以不等式的解为：或.
当时，原不等式可化为.
由，此时原不等式的解为：；
由，此时原不等式的解为：；
由，此时原不等式的解为.
综上可知：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
关键点点睛：解含参数的一元二次不等式的问题，要注意：
（1）二次项系数是否可以为0；
（2）二次想系数不为0时，不等式解集的形式及两根大小的比较.