上海民办华曜宝山实验学校 2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

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(时间 100分钟, 满分150分)
一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 下列图形中一定相似的是 ( )
A.两个直角三角形； B.两个等腰三角形； C.两个等边三角形； D.两个菱形.
△ABC中, ∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为,b,c, 下列等式中错误的是
( )
A.c=asinA; B. c=·csB; C.a=btanB; D. b=·ctA.
3. 将抛物线 y=2x−3² 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 ( )
A. ; B. ; C.y=2x−3²+5; D.
4.平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果 AB=m,AB=n,那么下列选项中与向量 12m+n相等的向量是 ( )
A. ; B. ????? ????????.????3 \∗ ??????????? ; C. ; D. .
5.如图1，二次函数 y=ax²+bx+c ????? ????????.????3 \∗ ??????????? 的图像与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有 （ ）
①; ② ????? ????????.????3 \∗ ??????????? : ③; ④当x=−n²−2(n为实数)时, y≥c
A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
6.如图2, 在正方形ABCD中, △ABP是等边三角形, AP、BP的延长线分别交边CD于点E, F, 联结AC、CP, AC与BF相交于点H, 下列结论中①AE=2DE; ②△CFP∽△APH;
③△CFP∽△APC; ④ CP²=PH·PB正确的有 ( )
A. 1个; B. 2个 ; C. 3个; D. 4个.
二、填空题 (本大题共12题，每题4分，满分48分)
7. 如果 ab=23,那么 b−aa+b=
8.某滑雪运动员沿着坡比为1： 3的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 175 米.
9.已知点 P 是线段MN的黄金分割点, MP>PN, 如果MN = 8, 那么MP的长是 .
10.在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm²的区域表示的实际面积约为 20000
11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，它们的周长之和为 20cm，那么较大的三角形的周长为 8 cm.
12.在锐角△ABC中, ,那么=
13.在△ABC中, 如果AB=AC=10, csB=45，那么△ABC的重心到顶点A的距离为 2 .
14.如图3, 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上, 如果 DEBC=AEAC,那么 不能 得到 DE∥BC. (填“能”或“不能”)
15.如图4, 直线, 如果 ABBC=13,AA1=2,CC1=115,那么BB₁的长为 .
16.如图5, 四边形ABCD, ∠B=∠D=90°,AB=3, BC=2, tanA=43 ，那么CD = .
17. 如图6, 正方形ABCD中, 将△ABC绕着点A逆时针旋转到△AHG, AH,AG分别交对角线BD于点E,F.如果 AE=19,那么EF·ED 的值为 19 .
18. 如图7是一张矩形纸片，点E在AB边上，将沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点E, F, D在同一条直线上, AE=2, 那么BE= .
二、解答题(本天题共7 题，满分78 分)
19. (本题满分10分)计算: | ????? ????????.????3 \∗ ??????????? −1|+ ????? ????????.????3 \∗ ??????????? − ????? ????????.????3 \∗ ??????????? − ????? ????????.????3 \∗ ??????????? .
【解析】
=33−1+1222−32−322−122 =1−33+2+3(2−3)(2+3)−34−14 =1−33−2−3−1 =−433−2
20.(本题满分10分) 如图, 在平行四边形ABCD中, 点E在边BC上, CE=2BE, AC、DE相交于点F.
(1) 求DF: EF的值;
(2) 如果 CB=a,CD=b, 试用a,b表示 EF.
【解析】
解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC, ∴DFEF=ADEC. ∵CE=2BE,∴BCEC=32, ∴DFEF=32.

(2) ∵CE=2BE,∴CE=23CB,∴CE=23CB=23a. ∵ED=CD−CE,∴ED=b−23a. ∵DFEF=32,∴EF=25ED, ∴EF=25ED, =25b−23a=25b−415a.
21. (本题满分10分) 如图, 在△ABC 中, BE平分∠ABC, DE∥BC.
(1) 已知 AD =3, DE=2, 求BC 的长;
(2) 如果 SADE=S1,SBDE=S2, 求(用S₁,的代数式表示)
【解析】
22.(本题满分10分)
如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD. 中午12时太阳光线与地面的夹角为45°,，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上) ，求塔AB的高度 (结果精确到0.01米)
参考数据 sm32 ≈0.53, cs32°≈0.85, tan32°≈0.62, 2 ≈1.414.
【解析】
解: 过点 D 作 DH⊥AB, 垂足为点 H. 由题意, 得 HB=CD=3,EC=15,HD=BC,∠ABC= ∠AHD=90∘,∠ADH=32∘. 设 AB=x, 则 AH=x−3. 在 Rt △ABE 中, 由 ∠AEB=45∘, 得 tan⁡∠AEB=tan⁡45∘= ABEB=1.∴EB=AB=x.∴HD=BC=BE+EC=x+15. 在 Rt △AHD 中, 由 ∠AHD=90∘, 得 tan⁡∠ADH= AHHD. 即得 tan⁡32∘=x−3x+15. 解得 x=15⋅tan⁡32∘+31−tan⁡32∘≈32.99≈33.∴ 塔高 AB 约为 33 米.
23. (本题满分12分）
已知: 如图, 梯形ABCD, , 对角线AC、BD交于点E, ∠DEC=∠DCB.
(1) 求证: ADCE=ACCB;
(2) 如果点F在DB的延长线上，联结AF, AF²=AE⋅AC.求证: EC·AF=BC·AE.
【解析】
证明: (1)∵∠DEC=∠DCB,∠DCB=∠ACB+∠ACD,∠DEC=∠CAD+∠ADB, ∴∠ACB+∠ACD=∠CAD+∠ADB, ∵AD//BC, ∴∠CAD=∠ACB,∠ADB=∠DBC, ∴∠ACD=∠ADB=∠DBC, 又 ∵∠CAD=∠ACB, ∴△ACD∼△CBE, ∴ADCE=ACBC; (2)∵∠ACD=∠ADB,∠CAD=∠DAE, ∴△ADE∼△ACD, ∴ADAC=AEAD, ∴AD2=AC⋅AE, ∵AF2=AE⋅AC, ∴AD=AF 或 AD=−AF( 舍去 ), ∵∠ADB=∠DBC,∠CAD=∠ACB, ∴△ADE∼△CBE, ∴ADCB=AECE, ∴CE⋅AD=CB⋅AE, ∴CE⋅AF=CB⋅AE.
24.(本题满分12分)
如图，抛物线 y=ax²+bx+8a≠0与x轴交于点 A(-2,0)和点B(8,0),与轴交于点C,顶点为D,联结AC,BC，BC与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，联结PB，PC.当 SPBC=35SABC时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似? 若存在，求点M的坐标； 若不存在，请说明理由.
【解析】
解: (1) 将 A(−2,0) 和 B(8,0) 代人抛物线 y=ax2+ bx+8,
得 4a−2b+8=0,64a+8b+8=0.
解这个方程组, 得 a=−12,b=3.
∴ 抛物线的表达式为 y=−12x2+3x+8.
(2) ∵A,B,C 三点的坐标分别为 (−2,0),(8,
0),(0,8),
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×10×8=40.
设直线 BC 的表达式为 y=kx+b′,
将点 B(8,0) 和 C(0,8) 代人, 得 8k+b′=0,b′=8.
解这个方程组, 得 k=−1,b′=8.
∴ 直线 BC 的表达式为 y=−x+8.
设点 P 的坐标为 t,−12t2+3t+8.
过点 P 作 PQ⊥x 轴, 交 BC 于点 Q,则点 Q 的坐标为 (t,−t+8),
∴PQ=yP−yQ=−12t2+3t+8−(−t+8) =−12t2+4t. ∵S△PBC=35S△ABC, ∴12×−12t2+4t×8=35×40.
解这个方程, 得 t1=2,t2=6.
(1) 当 t=2 时, yP=−12t2+3t+8=−12×22+3× 2+8=12.
(2) 当 t=6 时, yP=−12t2+3t+8=−12×62+3× 6+8=8.
综上所述, 符合条件的点 P 有两个, 坐标分别为 (2,12),(6,8).
(3) 当 x=3 时, y=−x+8=5,
∴ 点 E 的坐标为 (3,5).
∵OB=OC=8,∴△OBC 为等腰直角三角形,
∵△EMN 与 △OBC 相似,
∴△EMN 也为等腰直角三角形.
∴ 点 M 的横坐标是 3 .
设点 N 坐标为 n,−12n2+3n+8(n>3).
(1)当 ∠MEN=90∘ 时, 如图.
EN 与 x 轴平行,
∴−12n2+3n+8=5.
解这个方程, 得 n1=3+15,n2=3−15 (舍去).
∴EM=EN=n−3=3+15−3=15.
∵ 点 E 的坐标为 (3,5),
∴ 点 M 的坐标为 (3,5+15).
(2) 当 ∠EMN=90∘ 时, 如图,
MN与 x 轴平行,
点 M 与点 N 的纵坐标相等,
∵EM=MN.∴−12n2+3n+8−5=n−3.
解这个方程, 得 n1=6,n2=−2 (舍去).
∴EM=MN=6−3=3,
∴ 点 M 的坐标为 (3,8).
(3) 当 ∠MNE=90∘ 时, 如图,
此时的点 M 与点 E 关于(2)的结果中的 (3,8) 对称,设点 M 的坐标为 (3,m),∴m−8=8−5.
解这个方程, 得 m=11.
∴ 点 M 的坐标为 (3,11).
综上所述, 符合条件的点 M 有三个, 坐标分别为 (3,5+15),(3,8),(3,11).
25.(本题满分14分)
(1) 如图①, 已知△ABC∽△ADE,求证: △ABD∽△ACE;
(2) 如图②, 在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°, AC与DE相交于点F点D在BC边上， ADBD=3, 求 DFCF的值；
(3) 如图③点D是△ABC 内的一点,∠BAD=∠CBD= ????? ????????.????3 \∗ ??????????? ,∠BDC= ????? ????????.????3 \∗ ??????????? ,AB=4, AC=23, 求AD 的长.
【解析】
（1） 证明: ∵△ABC∽△ADE,
∴ABAD=ACAE,∠BAC=∠DAE,∴ABAC=ADAE,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE.
（2）如图，连接 CE,设 BD=t, 则 AD=3BD=3t.依题意, 得 △ADE∽△ABC.
由（1）得 △ACE∽△ABD ，
∠ACE=∠B=30∘, ∴CEBD=ACAB=33,∴CE=33BD=33t,∴ADCE=3. ∵∠ADE=∠ACE=30∘,∠AFD=∠EFC, ∴△ADF∽△ECF,∴DFCF=ADEC=3.
（3） 5