北京市第十三中学分校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（原卷版）

这是一份北京市第十三中学分校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（原卷版），共7页。
第一学期期中 九年级 数学试卷
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共6页．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．
4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的解是（ ）
A. B.
C ，D. ，
3. 如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ）

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得到的抛物线表达式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法准确判断
7. 如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在外，内，上，则原点O的位置应该在( )
A. 点A与点B之间靠近A点B. 点A与点B之间靠近B点
C. 点B与点C之间靠近B点D. 点B与点C之间靠近C点
8. 二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
其中m，n，p为常数，且．
有下列四个结论：
①；
②抛物线的对称轴是直线；
③0和1是方程的两个根；
④若，则．
其中正确的结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__．
10. 二次函数的最大值是______．
11. 如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为______°．

12. 如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为__．
13. 如图，在长为、宽的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为，余下的部分作为草坪，若草坪面积为，设横向道路的宽度为，则可列方程为______．

14. 点在二次函数的图象上，若当时，则与的大小关系是_____．（用“”、“”、“”填空）
15. 已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论：
①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同；
②点火后火箭落于地面；
③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为；
④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为．
其中正确的推论是______．
16. 已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为______；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______．
三、解答题：（本大题共12小题，共68分）
17. 解方程.
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，B4,0，．
（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后；
（2）在（1）的条件下，
①线段扫过的图形面积为______；
②连接，线段的中点的坐标为______．
19. 已知：如图，中，．
求作：，使得顶点P在垂直平分线上．
作法：①作的垂直平分线l，交于点O；
②以O为圆心，为半径画圆，与直线l的一个交点为P（点P与点C在的两侧）；
③连接，，就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
为的垂直平分线，
______．
，
______．
点A，B，C都在上．
点在上，
（________________________）（填推理依据）．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根之差为3，求m的值．
21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．
22. 如图，在中，，，以为旋转中心，分别将线段，AB顺时针旋转得到线段，AD，AD交于点．若，求的长．
23. 已知：二次函数中的x和y满足表：
（1）m的值为______；
（2）直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象；
（3）当时，结合图象直接写出y的取值范围；
（4）对于正比例函数，当时，总有，直接写出k的取值范围．
24. 如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2），，求的半径．
25. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．

（1）直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点，点，若抛物线G与线段只有一个交点，求m的取值范围．
27. 在中，，．点是边=上一动点（不与点重合），连接，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
（1）依题意补全图形，求证：；
（2）对于任意的点，点的位置是否改变，若不变，请指出点的位置，并证明；若改变，请说明理由．
28. 在平面直角坐标系中，，，线段的中点为，若平面内存在一点使得或者为直角（点不与，，重合），则称为线段的直角点．
（1）当时，
①在点，，中，线段的直角点是______；
②直线上存在四个线段的直角点，求出取值范围；
（2）直线与，轴交于点，．若线段上只存在两个线段直角点，直接写出取值范围．x
…
1
2
t
…
…
m
p
p
n
…
x
…
0
1
2
3
…
…
3
0
0
m
…