2025北京朝阳区高三上学期期中检测数学试卷含解析

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2024.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若函数在处取得最小值，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在中，， ，则（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）
A 1天B. 2天C. 3天D. 4天
7. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（ ）
A. B. C. 3D.
10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A. 99B. C. D. 96
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数__________．
12. 在中，已知，则__________；________.
13. 已知数列的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对________，使得数列是递增数列.
14. 某种灭活疫苗的有效保存时间（单位：）与储藏的温度（单位：℃）满足函数关系（为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.
15. 对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质. 给出下列四个结论：
①存在公差不为的等差数列具有性质；
②以为首项，为公比的等比数列具有性质；
③若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质；
④若数列和均具有性质，则数列也具有性质.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求的值；
（2）若，，求b及的面积.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.

（1）求证：平面PAD；
（2）求平面与平面PCD的夹角的余弦值；
（3）记平面与平面PCD交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.
18. 已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若存在极小值，求的取值范围.
19. 设函数.
（1）若，，求的值；
（2）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.
条件①：当时，取到最小值；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论在区间上的零点个数；
（3）若，其中，求证：.
21. 若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.
（1）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；
（2）已知数列A：，，，…，是T数列.
（i）证明：对任意的，与不能同时成立；
（ii）若n为奇数，求的最大值.