广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)，共5页。
命题人：向良辉 审校人：朱幸芳
说明：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷.第I卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92分，全卷共150分.考试时间为120分钟第I卷（选择题）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必用2B铅笔将姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的试卷类型､考试证号和考试科目.
2.每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.（答案写在试题卷上无效）.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知，且，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
2.直线的倾斜角及在轴上的截距分别是（ ）
A. B. C. D.
3.一个不透明的盒子中装有大小､材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两食球，则这两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中“点数不大于”“点数大于2”，”点数大于，下列结论判断错误的是（ ）
A.与互斥 B.
C. D.为对立事件
5.空间内三点不共线，设，则的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
7.已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分.
9.从这20个整数中随机选择一个数，设事件表示选到前数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（ ）
A.点的坐标为
B.为等边三角形
C.欧拉线方程为
D.外接圆的方程为
11.在平行六面体中，，若，其中，则下列结论正确的为（ ）
A.若点在平面内，则
B.若，则
C.当时，三裬锥的体积为
D.当时，长度的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有甲､乙两台机床生产某种零件，甲生产出正品且乙生产出次品的概率为，乙生产出正品且甲生产出次品的概率为，每台机床生产出正品的概率均大于，则甲､乙同时生产这种零件，至少有一台生产出正品的概率是__________.
13.设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________.
14.已知直三棱柱为侧棱的中点，过作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）.现有甲､乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
（2）若甲､乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲､乙两人停车费之和为28元的概率.
16.（本小题15分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一捕中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题：
（1）已知，若，求点的轨迹方程；
（2）已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
17.（本小题15分）
如图所示，三棱柱中，，是中点.
（1）用表示向量；
（2）在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由.
18.（本小题17分）
如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平画所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19.（本小题17分）
在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过上一点，且以为方向向量.
（1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
（2）证明：直线在曲面上；
（3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上，设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.