江西省南昌市第二十八中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份江西省南昌市第二十八中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．用配方法解方程时，应该把方程两边同时（ ）
A．加2B．减2C．加4D．减4
2．抛物线与轴的交点是（ ）
A．B．C．D．
3．等边三角形、平行四边形、圆、正五边形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．正五边形
4．如果一元二次方程总有实数根，那么应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
（第5题图）
A．B．C．D．
6．已知二次函数的部分图象如图所示，下列描述中，错误的是（ ）
（第6题图）
A．对称轴是直线B．当时，函数随增大而增大
C．图象的顶点坐标是D．图象与轴的另一个交点是
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若是一元二次方程的一个根，则的值为______．
8．如果二次函数的图象经过原点，那么______．
9．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则______．
10．已知一元二次方程的一个根为，则的值为______．
11．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______．
（第11题图）
12．如图，是内的点，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接．设为，当为等腰三角形时，为______．
（第12题图）
三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解下列方程：（1） （2）．
14．如图，是正方形内一点，绕着点旋转后能到达的位置，若，求线段的长．
（第14题图）
15．已知等腰三角形的两边长是方程的两个根，求该等腰三角形的周长？
16．如图，点，，是格点，请用无刻度的直尺按要求在网格中作图，并标明字母．
（1）作四边形，使四边形为中心对称图形，且为格点；
（2）以为边作四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且，均为格点．
（第16题图）
17．已知二次函数的图象过点，并经过一次函数的图象与轴、轴的交点，求该抛物线的解析式？
四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知关于的一元二次方程．
（1）证明：不论为何值时，方程总有实数根．
（2）设方程的两根分别是，，若满足，求的值．
19．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，原计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若该商贸公司要想获利最大，则这种干果每千克应降价多少元？
（第19题图）
20．如图，等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
（第20题图）
五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运动的时间为秒．
（1）填空：______，______（用含的代数式表示），且的取值范围为______．
（2）当为何值时，的长度为？
（3）当为何值时，的面积为？
（第21题图）
22．
六、解答题（本题共12分）
23．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点．
【猜想证明】（1）当时，在图②中补全图形，并判断四边形的形状，并证明你的结论．
（2）在【问题情境】的条件下，存在，使点，，三点共线，并求出此时线段的长度．
【能力提升】（3）在旋转过程中，求线段的最小值？（直接写出答案）
南昌二十八中教育集团2024-2025学年上学期期中
九年级数学答案
1．C2．B3．C4．B5．B6．D
7．8．9．10．202511．12．或或
13．解：（1），，
或，，；
（2），，
，即，，
，．
14． 【详解】解：正方形，，
绕着点旋转后能到达的位置，
，，
．
15．【详解】解：得或6，
分类讨论：当腰长为3时，三边为3、3、6此时不构成三角形，故舍，
当腰长为6时，三边为3、6、6，此时周长为15．
16．【小题1】解：如图，平行四边形即为所求；
【小题2】如图，四边形即为所求；
或（画对一种即可）
17．当时，，故与轴的交点为
令，解得，故与轴的交点为
将，，代入得，解得
18．（1）见解析（4分）
（2）或1
【详解】（1）证明：
，不论为何值时，方程总有实数根；
（2）根据题意得，，
，，解得，，
的值为或1．
19．【小题1】（4分）解：设与之间的函数关系式为，
则解得与之间的函数关系式为．
【小题2】（4分）解：设总利润为元，由题意，得，
，当时，．
答：若该商贸公司要想获利最大，则这种干果每千克应降价5元．
20．【小题1】（4分）解：为等边三角形，，，
绕点逆时针旋转，得到，，，；
【小题2】（4分）是等边三角形，，而绕点逆时针旋转，
得到，，的周长．
21．（1），，
（2） （3）
【详解】（1）解：根据题意，，，
，．
，．
综上所述：．
（2）当时，，
，整理得，
解得（不合题意，舍去），．
当时，的长度为．
（3）当时，，
整理得，解得，（不合题意，舍去）
当时，的面积为．
22．任务一：；
任务二：；
任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
【详解】解：任务一：由题意得，，
故答案为：；
任务二：当时，；
任务三：把代入得，，
解得（不合，舍去），，
答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
23．（1）正方形；证明见解析；
（2）补全图形见解析
或；
（3）
【详解】解：（1）四边形是正方形；证明如下：
四边形是矩形，；
当时，由旋转性质知：，；
，，，四边形是矩形；
，四边形是正方形；
图②
（2）当旋转角小于直角时，补全图形如图所示；
图③-1
四边形是矩形，，，，
，，，
，；
在中，由勾股定理得，
；
当旋转角大于直角则小于平角时，补全图形如图所示；
图③-2
同理，，；
在中，由勾股定理得，
；
综上，或；
（3）如图，连接，
，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为；
由勾股定理，最小值为．
故答案为：．
安全驾驶：合理车距的保持艺术
背景
停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作直线运动．
素材
司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）；整个停车距离为．
问题解决
任务一
认识研究对象
汽车的停车距离______（用含的代数式表示）
任务二
探索研究方法
若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米？
任务三
尝试解决问题
某司机开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．