广东省部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

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本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
A.11B.10C.9D.8
2.已知直线：，：，且，则（ ）
A.1B.-2C.2D.3
3.经过，两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A.-2B.1C.3D.4
4.已知，，三点不共线，点不在平面内，（，），若，，，四点共面，则的最大值为（ ）
A.B.C.1D.2
5.已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）
A.32B.62C.64D.30
6.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）
A.B.C.D.
10.已知复数，则（ ）
A.的虚部为
B.
C.在复平面内的对应点位于直线上
D.为方程的一个根
11.三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）
A.5B.C.D.6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出一个过和的直线的两点式方程______.
13.已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______.
14.中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.
16.（本小题满分15分）
已知，.
（1）求在方向上投影向量的坐标；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.
17.（本小题满分15分）
如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值；
（3）求的长度.
18.（本小题满分17分）
现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.
（1）求的取值范围；
（2）求的面积取得最小值时对应的周长；
（3）若，也为“整数点”，求直线的一般式方程.
19.（本小题满分17分）
在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.
（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.
提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；
②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.
2024—2025学年度高二年级11月联考
数学参考答案及解析
一、选择题
1. A 【解析】.故选A.
2. C 【解析】由题意可得，故，解得.故选C.
3. C 【解析】由题干条件可得，解得3.故选C.
4. B 【解析】因为，，，四点共面，所以，
所以，当且仅当时取“＝”.故选B.
5. B 【解析】由题意可得，，故，
故集合的非空真子集个数为.故选B.
6. C 【解析】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故，
因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为.
故选C.
7. B 【解析】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即.故选B.
8. B 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
设，、、，则有、、，
设中点为，中点为，则有，
即，又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，，故，
由可得，
故，故.故选B.
二、选择题
9. ABD 【解析】易知，
其最小正周期为，所以，即，
令（），解得（）.故选ABD.
10. BCD 【解析】对于A，，故，其虚部为，故A错误；
对于B，，故B正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；对于D，易得，故D正确.故选BCD.
11. BC 【解析】三棱锥中，由可得，，
则是二面角的平面角，如图，
，
而，，，
，
因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以的长度可以为，.故选BC.
三、填空题
12.（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.
【解析】经过点和点直线两点式方程是：.故答案为.
13. 【解析】由题可知平面的一个法向量为，
又，故点到平面的距离为.故答案为.
14. 【解析】由，可得，
即，所以，
所以，
故.
令，，则，
，
所以，等号成立条件为.故答案为.
四、解答题
15.解：（1）由题意可得，，
所以线段的中点为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
故线段垂直平分线的斜截式方程为，即.
（2）设直线的截距式方程为，
则 ①，.
由①②解得，，，
故直线的截距式方程为.
16.解：（1）因为，，
所以，，
所以在方向上投影向量为.
（2）因为，，，
所以，
又，所以，
故以，为邻边的平行四边形的面积为
17.解：（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意得，，，，
，，
因为，，
所以，
所以，所以.
（2）由（1）可得，，
所以
.
故异面直线与夹角的余弦值为.
（3）由（1）可得，
故.
18.解：（1）由题意可得，解得.
（2）由（1），，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
所以的周长为.
（3）由题意可知，均为整数，所以均为整数，
又因为，，，.
所以，即.
所以，，0或2，
所以直线的一般式方程为或或或.
19.解：（1）考虑提示：球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，由于几何重心在对称轴上，则运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，代入即.
注：开始时代入计算也给分.
（2）由题知：球面方程为，故.
另一方面：.则切面方程为：
：
，
代入得到：，
于是，
运用等体积法：设的面积为，
（当且仅当，取等）.