2024-2025学年福建师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角α的终边上一点的坐标为(1,−1)，则csα=( )
A. −1B. − 22C. 22D. 1
2.下列函数中，在区间(1,2)上为增函数的是( )
A. y=1xB. y=|x|C. y=−2x+1D. y=x2−4x+3
3.为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是( )
A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79
C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值
4.在体积为7 22的直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，且△ABC的外接圆半径为 213，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. 12πB. 8πC. 6πD. 3π
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−πsD. s′=s
10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BC与D1C1的中点，则下列选项正确的有( )
A. A1B/​/平面AEC1
B. EF与BC1所成的角为30°
C. EF⊥平面B1AC
D. 平面AEC1截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为2 6
11.已知a，b均为正数且a+b=1a+1b，下列不等式正确的有( )
A. a a+2b b≥3B. a+ b≥2C. a+2 b≥3D. ab+2a≥3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x>−1，则x+4x+1的最小值为______．
13.已知函数f(x)=lg2x+a,x≥1x2+3ax+2a2,x0，使得lg12x0=x0，
由g(x)=2x−3∈A，且为一次函数，根据性质③可得：ℎ(x)=lg12(2x−3)=f−1(g(x))∈A．
(2)解：由性质②，方程x2+ax+1=x(x≥1)，即a=x在x∈[1,+∞)上有解，∴a≥1．
由f(x)=x2+ax+1=x2−1+a+1x+1=x+1+a+1x+1−2，(x∈[1,+∞))．
若 a+1>2，a>3时，a−12>1，且f(1)=f(a−12)，∴此时f(x)没有反函数，即不满足性质①．
若 a+1≤2，1≤a≤3时，函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴函数f(x)有反函数，即满足性质①．
综上：a∈[1,3]．
(3)证明：任取f1(x)=ax+b，f2(x)=cx+d∈A，由性质(1)a，c≠0，不妨设a，c≠1，(若a=1，则b=0，∴f1(x)=x)，
由性质③函数g(x)=f1(f2(x))=acx+(ad+b)∈A，函数ℎ(x)=f2(f1(x))=acx+(bc+d)∈A，
由性质①：ℎ−1(x)=x−(bc+d)ac∈A，
由性质③：ℎ−1(g(x))=acx+(bd+b)−(bc+d)ac=x=(ad+b)−(bc+d)ac∈A，
由性质②方程：x+(ad+b)−(bc+d)ac=x有解，∴ad+b=bc+d，即ba−1=dc−1，
f1(x)=x，可得ax+b=x，x=ba−1.f2(x)=x，可得cx+d=x，x=dc−1．
由此可知：对于任意两个函数f1(x)，f2(x)，存在相同的x0满足：f1(x0)=x0f2(x0)，
∴存在一个实数x0，使得对一切f(x)∈A，均有f(x0)=x0．