2024-2025学年陕西省渭南市富平县高三（上）摸底数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省渭南市富平县高三（上）摸底数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x>1}，则A∪B=( )
A. {x|x≥−1}B. {x|x>1}C. {x|10”是“mn+nm≥2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.若函数f(x)=lg0.5(ax−x2)在区间(−1,0)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (0,2]B. [−2,0)C. [2,+∞)D. (−∞,−2]
7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23−y23=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p的值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
8.已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=−4，a4=2，a5=8b4，m∈N∗，则满足am⋅bm>1的数值m( )
A. 有且仅有1个值B. 有且仅有2个值C. 有且仅有3个值D. 有无数多个值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
A. |A1C|= 3|AB|
B. 三棱锥A1−B1D1A与正方体ABCD−A1B1C1D1的体积比为1：3
C. 〈AD1,AB1〉=π3
D. A1C⊥平面AB1D1
10.为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60棵树木，测量底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]内，其频率分布直方图如图所示，则( )
A. 图中a的值为0.025
B. 样本中底部周长不少于110cm的树木的底部周长的平均数等于120
C. 样本中底部周长不小于110cm的树木有18棵
D. 估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115
11.双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为F(x)=ex−e−x2，S(x)=11+e−x，则下列说法正确的是( )
A. F(x)是奇函数
B. F(x)在R上不单调
C. S(x)的值域为(0,1)
D. 函数y=F(x)−S(x)在x∈R上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足|a+2b|=2 5，|a|=2，|b|= 2，则向量a与b的夹角为______．
13.已知x=π4和x=π2都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点，则ω的最小值是______．
14.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，2cs2A2−1= 3sin(B+C)．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若c= 32b，求证：△ABC为直角三角形．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=4x3−ax2+a2，a>0．
(1)当a=1时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若x>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
(Ⅰ)证明：AE⊥平面PAD；
(Ⅱ)若PA=2，求二面角F−AE−C的余弦值．
18.(本小题17分)
已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X，估计X的数学期望；
(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
19.(本小题17分)
如图，已知A，B分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.椭圆的离心率为 32，△ABO(O是坐标原点)的面积为1．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)若过点P(a,b)的直线与椭圆E相交于M，N两点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于点C，D.证明：M，C，D三点的横坐标成等差数列．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.C
6.D
7.C
8.A
9.ACD
10.ACD
11.ACD
12.π4
13.4
14.630
15.解：(Ⅰ)在△ABC中，2cs2A2−1= 3sin(B+C)，
由二倍角的余弦公式和三角形的内角和定理、诱导公式，
可得csA= 3sinA，即有tanA=sinAcsA= 33，
∵A∈(0,π)，∴A=π6；
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知A=π6，又c= 32b，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+34b2−2b2⋅ 32⋅ 32=14b2，
∴a2+c2=b2，即B=π2，
∴△ABC为直角三角形．
16.解：(1)当a=1时，f(x)=4x3−x2+1，f′(x)=12x2−2x，
则f(1)=4，f′(1)=10，
所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−4=10(x−1)，即10x−y−6=0；
(2)f′(x)=12x2−2ax=2x(6x−a)，
又a>0，
令f′(x)