湖南省湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了 已知复数，则， 无论何值，直线过定点， 已知，则， 直线关于对称的直线方程为， 已知椭圆， 已知实数满足，则的范围是， 已知直线， 已知圆等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
2. 无论何值，直线过定点（ ）
A. B. C. D.
3. 在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 直线关于对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A. B. 或C. 8或2D. 8
7. 已知实数满足，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 点到直线的距离的最大值为
C. 存在两个不同的实数，使得直线与圆相切
D. 存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为
10. 已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 曲线的方程为
C. 过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为
D. 曲线上的点到直线的距离的最大值为
11. 在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A. 与所成角的余弦值为
B. 过，，三点的正方体的截面面积为3
C. 当在线段上运动时，最小值为3
D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则________
13. 直线的倾斜角的取值范围是______.
14. 如图，设，分别是椭圆左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知两圆和．求：
（1）取何值时两圆外切？
（2）当时，两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
16. 在ΔABC 中，内角的对边分别为 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求ΔABC的面积.
17. 如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．
18. 某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：.
19. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点.
（1）证明和均为定值;
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）第一次段考
数学试卷（10月份）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】1000
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##0.5
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）；
【16题答案】
【答案】（1） （2）
【17题答案】
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，．
【18题答案】
【答案】（1），85
（2）
（3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）
（3）椭圆C上不存三点，使得