2025杭州高三上学期一模数学试题含解析

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数学试题卷
考生须知:
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!
3.考试结束，只需上交答题卡.
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数是（ ）
A. 奇函数B. 偶函数
C. 既非奇函数也非偶函数D. 既是奇函数也是偶函数
3. 已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ）
A. B. C. D. 或
4. 将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量，若，则（ ）
A. 1或B. 或
C. 或2D. 或1
6. 设，满足.若函数存在零点，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 2
8. 对，不等式恒成立，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在正方体中，O为底面中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则在0,1上单调递减
D. 若，则在上单调递增
11. 已知函数定义域为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线的斜率是_________.
13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和）
14. 已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，.
（1）判断的形状，并说明理由;
（2）若点在AB边上，且.若，求的面积.
16. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为.
（1）求的方程;
（2）若点关于直线对称的点在上，求的值.
17. 一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵.
（1）若，求此时信息熵;
（2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义.
（参考不等式:若，则）
18. 已知函数.
（1）若，求的单调区间;
（2）若，求证:;
（3）若使得，求证:.
19. 已知正项有穷数列，设，记的元素个数为.
（1）若数列，求集合，并写出的值;
（2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”;
（3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数.