安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次月考教学质量检测数学试卷[解析版]

这是一份安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次月考教学质量检测数学试卷[解析版]，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，则.
故选：A.
2. 下列函数与函数是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数；
对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数；
对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数；
对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数.
故选：B.
3. 若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】由题设，则，
当且仅当，即时等号成立，
要使不等式有解，则，
所以或.
故选：C.
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】，的否定是：，.
故选：C.
5. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，则，
则
，
当且仅当，结合，，
即，时取等号.
故选：A.
6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，
即，
因为为偶函数，所以，则，
所以，，所以，
故的周期为，
因，
所以.
故选：B.
7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）
A. B. 的不同子集的个数为8
C. D.
【答案】D
【解析】，
由，，，，，
作出图，如图所示，
由图可知，，，故A，正确；
集合的子集个数为个，故B正确；
因为，所以，错误.
故选：D.
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知的定义域为，
又因为函数“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A. 且
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】对于，，，是方程的两个根，所以，
，所以，，所以，，所以错误；
对于，，由可得不等式解集为，所以正确；
对于，当时，，，所以正确；
对于，由题得，因为，所以，
所以，所以不等式的解集是，所以正确．
故选：.
10. 已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素
B. 若中不含孤立元素，则中最少有个元素
C. 若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个
D. 若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样集合共有个
【答案】ABD
【解析】对于A，因为集合，，的并集为，
且集合，，中任意两个集合的交集都为空集，
若中的元素个数大于，则必有两个元素来自集合，，中的一个，
此时，集合中存在不是孤立元素的元素，
故若中元素均为孤立元素，则中的元素个数小于等于，
又时，中元素均为孤立元素，
所以若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素，
对于B，若中只有1个元素，则必为孤立元素，
又集合时，中不含孤立元素，故B正确；
对于C，易知这样的集合有，，，；，，；，；共10个，故C错误；
对于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有，，，，，共6个，故D正确.
故选：ABD.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于轴对称B. 的最大值为1，没有最小值
C. D. 在上是增函数
【答案】ABD
【解析】因为，
画出的图象如下：
A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；
B选项，无最大值，有最小值0，B错误；
C选项，因为，
故，
，
因为，
所以，故，C正确；
D选项，由图象可知在R上不是增函数，D错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
又对于任意的，存在，使得，则，
又，，
当时，，所以，解得，
当时，，所以，解得，
综上，的取值范围是.
13. 已知集合，若，且，则实数m所取到的值为______或______．
【答案】2 1
【解析】，
因为，且，所以或，
当时，可得：，得：，
当时，可得：，得：，
所以实数m所取到的值为2或1.
14. 已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，则，且，
则，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
又由方程的两根分别为且，
可得，所以，且，
因为对于，都有成立，即不等式成立，
解得，所以实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，全集，试求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围；
解：（1）解不等式得，∴，
解得，∴，
当时，，
∴，∴，
∴.
（2）由（1）可知，，
∵，∴，
∴实数的取值范围：.
（3）由（1）可知，，
∵，∴，∴，
∴实数的取值范围：.
16. 已知函数.
（1）若，，函数的最小值为0，求a的值；
（2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；
（3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值.
解：（1）当，时，，
由题意得，函数的值域，
（i）时，不符合题意；
（ii）时，，即；
综上，.
（2）因为，不等式转化为，
因为有四个整数解，
则必有两个不相等实数根，记为，且，
又因为当时，，
当时，，
图象开口向上，对称轴为，所以，
故不等式的解集中的四个整数解为，所以，
所以，故.
（3）因为当时，对，，
由题设，有，
又，则，
又，，
故存在使成立，则，
所以，
令，则，，
令，则，且，
故，
当且仅当，即，，时，等号成立，
所以，即的最小值为.
17. 已知，且.
（1）求最大值；
（2）求最小值；
（3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）已知，且，
，，
当且仅当即，，取“=”.
所以最大值为.
（2）
，
当且仅当，即，时取“=”，
所以最小值为.
（3），
当且仅当，即，时取“=”，
，解得，
所以实数m的取值范围为.
18. 已知方程.
（1）若，，求方程的解；
（2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个不相等实数解，且，求的最小值．
解：（1），时，，解得或.
（2），
故，所以，
其中，当且仅当时，等号成立，
故.
（3）有两个不相等的实数解，
，
由韦达定理得，
故，所以，此时，
所以
，
因为，
所以，
令，其在上单调递增，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
（1）已知函数，函数，判断和hx是否为区间-1,0上的增长函数，并说明理由：
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；
（3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
解：（1）是：因为，，；
不是，反例：当时，．
（2）由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即， 解得，
所以满足题意的最小正整数为9．
（3）根据题意，当时，，当时，，
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以，
若是R上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.