湖北省黄石市教联体期中考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．C．
2．D．
3．C．
4．B．
5．C．
6．C．
7．A．
8．B．
9．B．
10．A．
二．填空题（共6小题）
11．﹣4．
12．40．
m≤且m≠﹣1．
15．①②④．
三．解答题（共9小题）
16．解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
17．证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，
∴∠A＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴BE∥AC．
18．解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣2+3a2，
∴x＝﹣＝1，
故答案为：直线x＝1；··································2分
（2）当x＝1时，y＝a﹣2a﹣2+3a2＝3a2﹣a﹣2，
∴抛物线的顶点为（1，3a2﹣a﹣2），
∵抛物线的顶点在x轴上，且交于y轴正半轴，
∴3a2﹣a﹣2＝0且3a2﹣2＞0，
解得：a＝1或a＝﹣（舍去），
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1；···························5分
（3）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴点B（1，y2）是抛物线上的最低点，即y2最小，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大，
当m＜﹣3时，点A（m﹣2，y1）、C（m+4，y3）均在对称轴的左侧，且m﹣2＜m+4，
∴y1＞y3，
∴y1＞y3＞y2；
当﹣3＜m＜0时，m﹣2＜0，m+4＞1，
∵A（m﹣2，y1），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点A的对称点为A′（4﹣m，y1），
∵﹣3＜m＜0，
∴4﹣m＞4＞m+4＞1，
∴y1＞y3＞y2；
当m＝﹣3时，m+4＝1，
∴y1＞y3＝y2；
综上所述，当m＜0且m≠﹣3时，y1＞y3＞y2；当m＝﹣3时，y1＞y3＝y2．·······8分
19．（1）证明：∵x2﹣（k+3）x+3k＝0．
∴（x﹣3）（x﹣k）＝0，
∴无论k为何值，此方程总有一个根是x＝3．··············4分
（2）解：令方程的两根为：x1，x2，则有：x1+x2＝k+3，
若斜边为4，可令另两直角边分别为3和k．
∴32+k2＝42，
k2＝7，
∵k＞0．
∴k＝；
若直角边为4，则令斜边为k，另直角边为3．
∴42+32＝k2，
∵k＞0．
∴k＝5，
综上所述：k＝或k＝5．···········4分
证明：如图，连接，，，延长交于点，
，
，
点在垂直平分线上，
，
点在垂直平分线上，
垂直平分，
；···················4分
解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
设，则，
，，
，
解得：，
，
． ················4分
解：（1）如图1，线段EF，B'C'即为所求．·············4分
（2）如图2，点Q即为所求．·······················4分
过点Q分别作AB，AC的平行线，分别交AB、AC于点M、N，
∴四边形AMQN为平行四边形，
∴MO＝NO，
则直线MN即为所求．
22．解：（1）设AB＝tm，则BC＝（100﹣2t）m，
根据题意得t（100﹣2t）＝450，解得t1＝5，t2＝45，
当t＝5时，100﹣2t＝90＞20，不合题意舍去；
当t＝45时，100﹣2t＝10，
答：AD的长为10m；·······················4分
（2）设AD＝x m，矩形菜园ABCD面积为S，
S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；···················7分
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为（50a﹣a2）m2．··························10分
23．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠ADB＝2∠C，
∴∠ADB＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°＝∠C，
∴AD＝CD，
∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝2CD，
∴；·····················3分
（2）如图2，将AE绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接CF，EF，过点A作AH⊥EF于H，
∴AE＝AF，∠EAF＝120°，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∵AH⊥EF，
∴AH＝AE，FH＝EH，EH＝AH，
∴EF＝AE，
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠BEA＝∠AFC，BE＝CF，
设∠BEA＝∠AFC＝x，
∴∠FEC＝∠BEC﹣x﹣30°，
∵2∠BEC﹣∠AEB＝270°，
∴∠BEC＝135°+，
∴∠FEC＝105﹣，
∵∠EFC＝∠AFC﹣∠AFE＝x﹣30°，
∴∠FEC＝180°﹣（x﹣30°）﹣（105﹣）＝105°﹣，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝CF＝BE＝AE；··························6分
（3）如图3，当点P在△ABC内时，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB，连接HP，
∵∠APB＝90°，∠BPC＝150°，
∴∠APC＝120°，∠PBC+∠PCB＝30°，
∴∠ABP+∠ACP＝30°，
∵将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB，
∴AP＝AH，∠HAP＝120°，BH＝PC，∠ACP＝∠ABH，∠APC＝∠AHB＝120°，
∴∠AHP＝∠APH＝30°，∠ABP+∠ABH＝30°，
∴∠PHB＝90°，∠PBH＝30°，
∴BP＝2HP，BH＝HP，
∴BP＝BH＝PC，
∴＝；······················8分
如图4，当点P在△ABC外时，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB，连接HP，
∵∠APB＝90°，∠BPC＝150°，
∴∠APC＝60°，∠PBC+∠PCB＝30°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°，
∵将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB，
∴AP＝AH，∠HAP＝120°，BH＝PC，∠ACP＝∠ABH，∠APC＝∠AHB＝60°，
∴∠AHP＝∠APH＝30°，∠ABP+∠ABH＝90°，
∴∠PHB＝30°，∠PBH＝90°，
∴BH＝BP，
∴PC＝BP，
∴＝，·················10分
综上所述：＝或，
故答案为或．
24．解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；·······················3分
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
··································7分
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），························12分
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．