山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题

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高三数学试题
2024.11
本试卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．
2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．
3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
5．向量，，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则（ ）
A．8B．C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ）
A．2B．4C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．当时，的最小值为4
C．
D．“（）”是“（）”的必要不充分条件
10．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移（）个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是
D．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
11．设数列前项和为，满足，且，（），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．当时，有最大值
D．设，则当或时，数列的前项和取最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，都是正数，且，则的最小值为______．
13．已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是______．
14．已知函数，，则的对称中心为______；若（），则数列的通项公式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
已知在中，角，，，所对的边分别为，，，．
（1）求角；
（2）过点作，连接，使，，，四点组成四边形，若，，，求的长．
16．（本小题15分）
已知数列的前项和为，，（）.
（1）求数列的同向公式；
（2）记，数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题15分）
已知函数
（1）请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；
（2）定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点．
①求函数的不动点；
②求函数的稳定点．
18．（本小题17分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．
（1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大．
（参考公式：，）
19．（本小题17分）
已知，函数，．
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；
（2）若（），求证：．
高三上学期期中数学试题
参考答案
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．
1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AC 10．BCD 11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题，第一个空2分，第二个空3分．
12． 13． 14．；
四、解答题：
15．（本小题13分）
解：（1）由，
所以由正弦定理可得，
故，而，所以，
又，所以．
（2）在中，由正弦定理可得，
因为，所以，
在中，因为，所以为锐角，所以，
由余弦定理可得．
解得或2．
16．（本小题15分）
解：（1）由，可得，
两式相减可得：，所以，
令，可得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为
（2），．
可得，则，
两式相减得：
，所以，
因为，则，
原题意等价于关于的不等式恒成立，可得，
记，
令，则，解得或3，
则，即当或时，取到最大值，
可得，所以实数的取值范围．
17．（本小题15分）解：（1）
的单增区间为，。的单减区间为．
（2）易知
①当时，，令得，解得；
当时，，令得，解得（舍）．
综上所述：函数的不动点为．
②当时，，且，
则
令得，，解得或（舍）；
当时，，且，
则
令，得，解得；
当时，，且，
则，
令，得，解得或（舍）
综上所述：函数的稳定点有3个，分别是和1．
18．（本小题17分）
解：（1）设（，），则
令时，，，又，
所以，．
（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为．
不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，，
则，，
所以高度，
由参考公式得，上式为
从而高度差为，；
当，即，时，解得，，
又，所以或，此时高度差的最大值为．
19．（本小题17分）
解：（1），定义域均为，，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在处取极小值，且
，解得：．
（2）令，，因为，所以，
由可得：，
（1）－（2）得：，所以，
要证：，只要证：，只要证：，
不妨设，所以只要证：，即证：，
令（），只要证：（），
令（），
，
所以在上单调递增，
又，所以当时，恒成立．
即有（）成立，所以成立．