第06讲 双曲线及其性质（十一大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：双曲线的定义与标准方程
1．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【解析】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，
所以，故，
由于，
所以，
故选：A
2．（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线的方程为，且点在上，则的标准方程为 ．
【答案】.
【解析】由双曲线的一条渐近线为，故设双曲线方程为：，
又在双曲线上，则，
故所求双曲线方程为：，整理得：.
故答案为：.
3．双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为 ，标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为双曲线的一个焦点坐标是，
所以设双曲线的标准方程为，
又因为双曲线经过点，则有，又因为，
所以或，因为，所以，
双曲线方程为，
所以双曲线的实轴长为；标准方程为，
故答案为：；.
题型二：双曲线方程的充要条件
4． “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选:.
5．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【解析】若方程表示双曲线，
则，得.
故选：B
6． “方程表示双曲线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
所以“或”是“”的必要不充分条件.
所以“方程表示双曲线”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
7．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
【答案】
【解析】由，得，
则双曲线，
，渐近线，
不妨设直线，，
联立方程消去得，
则，
可得，解得，可得，
由双曲线的定义可得，
则，
可得，所以的周长.
故答案为：
8．（2024·高三·江苏南京·开学考试）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 .
【答案】2
【解析】不妨取点在第一象限，如下图所示：
根据双曲线定义可得，且；
由离心率为可得，可得，即；
设，则；
由的面积为可得，
解得；
利用余弦定理可得，
即，整理可得，
即，所以，解得.
故答案为：2
9．（2024·河南焦作·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 .
【答案】/
【解析】记的右焦点为，
由题意可知：双曲线的一条渐近线为，可知点在的渐近线上，
且，即，
且，，则，
可知和均为等边三角形，
则，即，
所以双曲线的方程为.
不妨设A在上方，
则的周长为，
又因为的直线方程为，与双曲线方程联立得，
整理得，解得，
且，可知，所以的周长为.
故答案为：.
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
10．定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上运动，则AB中点M的横坐标的最小值为 ．
【答案】
【解析】设F是右焦点，点，．
由离心率为，右准线为，
则,
则，
∴．
∴．
故答案为：
11．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
在双曲线中，，，，
圆的圆心为，半径长为，
所以，双曲线的左、右焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，，
所以，，
当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
12．已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
【答案】6
【解析】因为动点满足，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，
则，即，
不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为，
左焦点为，右焦点为，
设，则，
所以，
所以的最小值是6，
故答案为：6
13．（2024·湖北·一模）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】因为，所以，
因此动点在以为焦点的双曲线的靠近点的一支上，且，
从而的最小值为
故答案为：2.
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
14．设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ．
【答案】8
【解析】由双曲线的方程可得，，则，
设双曲线的右焦点，则，
圆的圆心，半径，
由题意可得，
当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号，
即的最小值为．
故答案为：．
15．已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
【答案】7
【解析】如图所示：
由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，
所以，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为7.
故答案为：7.
16．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】如图，设双曲线的右焦点为，由题知，
因为，所以，
因为，，当且仅当三点共线时等号成立，
所以，，当且仅当三点共线时等号成立.
所以，的最大值为
故答案为：
17．（2024·河北邯郸·一模）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】动点满足，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,
设双曲线的左焦点为，由题知，
则，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：
题型六：离心率的值及取值范围
18．已知O为坐标原点，F为双曲线C：的左焦点，直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若，且，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】设双曲线右焦点为，连接，
由对称性可知，，，，
因为，所以，故四边形为矩形，，
因为，所以，
由双曲线定义可得，
由勾股定理得，
由题意得，
即，解得，
故，解得，
离心率为.
故答案为：
19．已知双曲线：的左、右焦点分别为、点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 .
【答案】/
【解析】如图：
设Ax1,y1，因为，由.
因为，所以；
又在曲线上，所以：.
由，
由因为，所以.
故答案为：.
20．已知双曲线的左焦点为，直线过点，在第四象限与双曲线的渐近线交于点，且直线与圆切于点，若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】/
【解析】如图，因为直线与圆切于点，所以．
因为，，所以．因为，
所以，则，．
因为，所以，
所以，即，所以，则双曲线的离心率．
故答案为：
21．某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率 .
【答案】
【解析】由题意，双曲线的渐近线为，
若两渐近线垂直，则，解得，即双曲线为等轴双曲线，
所以离心率为.
双曲线的两渐近线为轴和轴，互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，
所以离心率为.
故答案为：.
22．已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】圆，双曲线的渐近线为，
圆与双曲线的渐近线有公共点，
圆心到渐近线的距离，
，，即，
．
故答案为：．
23．已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即，
所以，离心率.
故答案为：.
24．（2024·山东淄博·二模）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】（a＞0，b＞0）渐近线方程为，则.
离心率.
故选：B.
25．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，结合双曲线的对称性可知，
存在以点为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点，
所以当双曲线上的点到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点，
设点，则，
又因为由，可得，
所以，
要使最小，，则，解得，
所以，
又因为双曲线中，所以.
故选：A
26．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
根据双曲线定义知：的周长为，而，
所以，而的周长为，
所以，即，所以，解得，
双曲线离心率的取值范围是.
故选：D
27．已知F是双曲线（，）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，，设是双曲线E上的一个动点，∴，即，
∴．
易知最小时，M为E的右顶点，则，
∴当时，在处取得最小值，不符合题意，
故，此时在处取得最小值，符合题意，
故．
故选：B．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
28．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为B．若，则的面积为2
C．的最小值是D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2
【答案】BC
【解析】由双曲线，得双曲线，
设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为.
选项A：得，故双曲线的虚轴长为，故A错误.
选项B：得，则，，得，
故的面积为，故B正确.
选项C：易知，故C正确.
选项D：易得双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故D错误.
故选：BC.
29．（多选题）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程C．焦距D．离心率
【答案】BD
【解析】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长，
双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是；
而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是.
故选：BD
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点，若，则
【答案】ABD
【解析】的准线方程为，A正确；
由，得，不妨设，则，故双曲线的实轴长为4，B正确；
令，知双曲线的一条渐近线方程为，C错误；
由双曲线的定义，知，可得（，舍），D正确．
故选：ABD
31．（多选题）（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为D．双曲线C的离心率为
【答案】AD
【解析】因为双曲线方程，所以，
对于A：实轴长为，故A正确；
对于B：因为，所以焦点坐标，故B错误；
对于C：因为，所以渐近线方程，故C错误；
对于D：因为，所以离心率，故D正确；
故选：AD.
32．（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为B．C的离心率为
C．的最小值为2D．直线PF的斜率不等于
【答案】AD
【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，
对于A，的虚轴长，A正确；
对于B，的离心率，B错误；
对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；
对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确.
故选：AD
33．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线的方程为，则（ ）
A．渐近线方程为B．焦距为
C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为8
【答案】BC
【解析】因为双曲线方程为，即，
则，且双曲线焦点在轴上，
所以渐近线方程为：，A选项错误；
焦距，B选项正确；
离心率，C选项正确；
焦点为，则焦点到渐近线的距离为，D选项错误．
故选：BC.
34．（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【解析】由题意可得，故渐近线为，故A错误；
易知双曲线和椭圆的离心率分别为，
显然它们不互为倒数，故B错误；
由双曲线的定义可知，
若，则，
又，故的周长为，故C正确；
由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，即最短距离为6，故D正确．
故选：CD
题型八：利用第一定义求解轨迹
35． 是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，
所以点到直线的距离，到直线的距离，
，即.
所以动点M的轨迹方程：.
故选：C.
36．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】圆，，圆心，，
圆，，圆心，，
设，因为圆同时与圆及相外切，
所以，
即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.
故选：D
37．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设，由题意可知，，
整理可得动点的轨迹方程为.
故答案为：.
38．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设，则，
又因为可得.
则点的轨迹方程为.
故答案为：.
39．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由点是线段垂直平分线上的点，
，
又，
满足双曲线定义且，，
，
轨迹方程：．
故答案为：．
40．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设点，
由已知得，整理得，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
41．动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，
所以，即，
展开整理得．
故答案为：．
42．已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】因为A，B分别为椭圆的左､右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)，
设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，
由，，得，，
两式相乘得∶，化解得.
故答案为：.
题型九：双曲线的渐近线
43．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】因为，所以三点共线，
又，所以为直角三角形，
记，则，
由双曲线定义和对称性可得，
则有，即，
解得或（舍去）.
记，则，
在中，由余弦定理得，
整理得，得
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
44．（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，
依题意，解得.
故答案为：
45．（2024·上海宝山·二模）已知是双曲线上的点，过点作双曲线两渐近线的平行线，直线分别交轴于两点，则 ．
【答案】4
【解析】双曲线两渐近线的斜率为，设点，
则、的方程分别为，，
所以、坐标为，，
所以，
又点在双曲线上，则，所以．
故答案为：4
46．（2024·江西鹰潭·一模）设为双曲线右支上的任意一点，为坐标原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，则平行四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】设(不妨设在第一象限)，代入双曲线得即，
不妨假设在第一象限，所以直线的方程为，直线方程为，联立解得，
直线的一般方程为，
又到渐近线的距离为，
又，且，为锐角，
∴，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：15
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
47．已知F是椭圆的右焦点，A为椭圆的上顶点，双曲线与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，则 ．
【答案】1
【解析】设椭圆的半焦距为，则Fc,0，，
所以，直线与的一条渐近线平行，所以，
则，所以，即得，又，，
所以，即.
故答案为：1.
48．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的标准方程为，
双曲线的标准方程为，设，
因为双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，则，
设椭圆与双曲线的公共焦点为、，且、为两曲线的左、右焦点，
设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，在第三象限的交点为，
则，解得，
由对称性可知、的中点均为原点，所以，四边形为平行四边形，
因为、、、四点共圆，则有，故，
由勾股定理可得，即，即，
即，故椭圆的离心率为.
故选：C.
49．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为椭圆与双曲线共焦点，
所以有，，，
因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，
所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，，
设，由椭圆和双曲线的定义可知：，则，
由余弦定理可知：，
所以有，
因此的面积为，
故选：D．
50．（多选题）已知椭圆C：与双曲线：共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点为椭圆C的两个焦点又O为坐标原点，当的面积最小时，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值
D．的平分线长为
【答案】ABC
【解析】椭圆C：与双曲线：共焦点，.
，故A正确；
这时，是椭圆C：上一点，设，，则，椭圆C上一点P的切线l的方程为，，
， ，
，当且仅当时，取得最小值．
这时，，
对于B，，，，故B正确；
对于C，直线OP的斜率，切线l的斜率，，故C正确；
对于D，不妨设P在第一象限，则，这时，
在中，由，知，．
设的平分线交于点Q，则，
在中，由正弦定理得，．
故D错误．
故选：ABC
题型十一：双曲线的实际应用
51．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．

【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为，
因为最小直径为，可得，即，
又因为尊高，上口直径为，底部直径为，
设点，
所以且，解得，即，
可得双曲线的渐近线为，
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.
故答案为：.
52．（2024·上海·三模）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01）
【答案】85.83
【解析】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示：
，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.
故，，，，故轨迹方程为：.
由题意修建的三条公路总费用
，
由图形可知，当三点共线，即在点处时，有最小值，
由题意，所以，
所以.
故答案为：
53．（2024·上海·模拟预测）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳与这颗彗星的距离分别是6(亿千米)和3(亿千米)的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为和，则这颗彗星与太阳的最近距离是 .
【答案】2
【解析】如图，设，，，
设双曲线的方程为，半焦距为，
将代入双曲线可得，则，①
又，即，
代入双曲线得②
联立①②，结合可得，
解得或（因为，故舍去），
，
则这颗彗星与太阳的最近距离是.
故答案为：2.
54．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的焦距为2c，
由题意，得，所以，解得，
所以，由及余弦定理，
得，
即，所以，
的面积，
设P到公路l的距离为h，则，所以，
即P到公路l的距离为，
故选：D.
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，因为轴，
所以令，可得，解得：，设，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
直线的斜率为：
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
由可得，解得：,
所以，解得：，即
所以的渐近线方程为，
故选：C.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，
设F关于的对称点为，
由题意可得，解得，
又点M在双曲线上，则，
整理得：，得离心率，
故选：D
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[ 3 ，2]
【答案】A
【解析】由题意得，渐近线,
将代入得坐标为,所以,
因为轴，所以,
由已知可得,
两边同时除以得,
所以，即，
解得,所以，
而双曲线的离心率，
故选：A.
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】对于双曲线，则，
根据双曲线定义有，
又，，故．
故选：B
5．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】依题意，由，
得，即的平分线与直线PQ垂直，
设的平分线与直线PQ交于点D，如图，
则，，又，
所以，所以，．
由题得，，设，，，
在中，，，则，，
由双曲线的性质可得，解得，
则，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故选：A
6．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】设，可得，
过P作x轴的垂线，垂足为N，所以,
又因为,
所以,又
所以，
所以，又，
所以
所以双曲线的离心率为.
故选：A．
7．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】根据双曲线定义有，
由于点P在线段的垂直平分线上，∴，
又，，故．
故选：C.
8．（2024·河北·模拟预测）双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，由题意得：，
设，则，
所以，，
由双曲线的定义得：，
所以，，则，
因为，在中，，
即，解得，
所以，，
在中，，
即，
可得，
所以，
所以，即，
故双曲线的渐近线方程为．
故选：C．
9．（多选题）（2024·安徽·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或
B．若，且，则双曲线的离心率为
C．若，则的取值范围是
D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】对于A，双曲线渐近线的夹角为，则或者故或．
对于B，设，则．
故，解得．又，故．
对于C， 令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，
即直线的方程为，
设直线的倾斜角为 ，那么 ，
在中，
在中， ，渐近线的斜率为．
因为均在右支上，故．
如图所求，．
对于D，，故，而．
故，
由余弦定理可知，故．
故选：ABD.
10．（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ）
A．若，则的轨迹的长度等于2
B．若，则的轨迹方程为
C．若，则的轨迹与圆没有交点
D．若，则的最大值为3
【答案】ACD
【解析】选项A：因为，所以的轨迹为线段，
从而的轨迹的长度等于2，故A正确；
选项B：因为，由双曲线的定义知，的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由，得的轨迹方程为）
选项C：解法一：由，得，
化简得，，联立，得，
这与矛盾，所以方程组无解，故的轨迹与圆没有交点，故C正确；
解法二：若有交点Mx,y，则，
又，矛盾，
所以的轨迹与圆没有交点，故C正确；
选项D：
解法一：由得，，
化简得，
所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
等于在轴上的投影的长度，
由图知其最大值为3，故D正确；
解法二：同法一得的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，由圆的方程知可取到最大值3，故D正确；
解法三：由得，，
当在的反向延长线上时取等号，
①；
②当在的反向延长线上，且时，
满足条件，此时，
所以的最大值为3，故D正确；
故选：ACD．
11．（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为e，其左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点（P，M在第一象限），MN的中点为R，则（ ）
A．若直线l斜率，则
B．的周长为
C．以为直径的圆与以为直径的圆相交
D．若点M恰为以为直径的圆与渐近线的一个交点，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A项，由双曲线，可得其渐近线的方程为，
要使得过点的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点，
则满足，所以，所以A正确；
对于B项，由双曲线的定义，可得，，
两式相减得，
所以
，所以B项正确；
对于C项，设的中点为S，则，
即两圆半径之和，所以两圆外切，所以C项错误；
对于D项，联立方程组，且，解得，
因为，则，
连接并延长交于，则，为中点，
又由的中点为，则，从而，所以，
从而，因此，所以D项正确.
故选：ABD．
12．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD一定是平行四边形B．四边形ABCD可能为菱形
C．AB的中点可能为D．的值可能为
【答案】AD
【解析】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，，
所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为，则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误；
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
两式作差得，
若的中点为，可得，
代入上式，求得，故AB的方程为，
联立方程组，整理得，可得，
则，此时，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，
设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线，
易知，，可得，
又因为，所以的取值范围为；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为．
综上的取值范围为，所以D正确．
故选：AD.
13．（2024·山西太原·一模）已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 .
【答案】5
【解析】因为，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0，
所以直线方程斜率一定存在，
设直线的方程为，
联立方程，消去y可得，
则，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
可得y1y2=kx1+tkx2+t=k2x1x2+ktx1+x2+t2
，
且，，由，可得，
即，解得，
下面证明椭圆在处的切线方程为，
理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
可知：椭圆在点Ax1,y1的切线方程为，
椭圆在点Bx2,y2的切线方程为，
由于点Px0,y0为与的交点，
故，，
所以直线为，
因为直线的方程为，对照系数可得，，
又，故，整理得，
又Px0,y0在第一象限，
故点Px0,y0的轨迹为双曲线位于第一象限的部分，
，同理可得，
则，
又由于，，，故，
设，则，
则两式联立得，
由得，，
检验，当时，，又，
解得，满足要求.
故的最小值为4
故的最小值是5
故答案为：5.
14．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以PR为x轴，QS为y轴建系，则，，
设，，且，，所以，，
因为，所以，
即A位于双曲线的右支上，渐近线方程为或，
设点A到直线PS的距离为h，又直线与直线PS的距离为，点到直线PS的距离为，
则，又，
所以面积的取值范围是．
故答案为：
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ．
【答案】4
【解析】由题意可知渐近线方程为，，
故，故，
又,
由于焦距为，故，则，
由对称性可知四边形为平行四边形，故周长为，
设，由可得，当且仅当，即时等号成立，
故，
故最小值为4
故答案为：4
16．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为，连接，
由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形，
又，，则有，，
又由双曲线的定义得，解得，
再由余弦定理：，
即，得，
再由，
故渐近线方程为：，
故答案为：.
17．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，Qx2,y2
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，
联立，消去可得：，
所以，，
所以
18．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
【解析】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为，，
又双曲线经过点，
所以，即，
所以双曲线的方程为，即．
（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，
所以直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面积为，
所以，解得，所以，
所以直线的方程为或．
1．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
2．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
7．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
8．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
10．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
13．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【解析】由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
15．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
【答案】4
【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
16．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
17．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176818057" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176818057 \h 2
\l "_Tc176818058" 题型一：双曲线的定义与标准方程 PAGEREF _Tc176818058 \h 2
\l "_Tc176818059" 题型二：双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc176818059 \h 3
\l "_Tc176818060" 题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc176818060 \h 4
\l "_Tc176818061" 题型四：双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc176818061 \h 7
\l "_Tc176818062" 题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc176818062 \h 9
\l "_Tc176818063" 题型六：离心率的值及取值范围 PAGEREF _Tc176818063 \h 11
\l "_Tc176818064" 题型七：双曲线的简单几何性质问题 PAGEREF _Tc176818064 \h 17
\l "_Tc176818065" 题型八：利用第一定义求解轨迹 PAGEREF _Tc176818065 \h 20
\l "_Tc176818066" 题型九：双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc176818066 \h 23
\l "_Tc176818067" 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 PAGEREF _Tc176818067 \h 25
\l "_Tc176818068" 题型十一：双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc176818068 \h 28
\l "_Tc176818069" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176818069 \h 32
\l "_Tc176818070" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176818070 \h 49