2025湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考数学试题含解析

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命题学校：鄂南高中 命题教师：高一数学教研组
审题学校：黄梅一中 审题教师：吴启红
考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. 2C. D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：）
A B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（ ）
A. 与互为共轭复数B. 点在第二象限
C. 复数的虚部是D.
10. 已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的最小正周期是，则的值为______.
13. 已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______.
14. 设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
16. 记内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求
17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点Ax1,y1，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点Bx2,y2，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值.
18. 已知为函数极小值点.
（1）求的值；
（2）设函数，若对，，使得，求的取值范围.
19. 已知正实数构成的集合
（1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.
（2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.