第05讲 对数与对数函数（八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：对数式的运算
1．若，则 .
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：1.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若，，则 .
【答案】1
【解析】因为，，所以，，
所以，，
因此，.
故答案为：1
3．求值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式.
（2）.
4．（2024·河南郑州·三模）已知，则的值为 ．
【答案】/0.5
【解析】因为，
所以，可得 ，
即，
所以，即，
所以.
故答案为：.
题型二：对数函数的图象及应用
5．（2024·高三·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图象可得，指数函数为减函数，
对数函数为增函数，
所以，
即.
故选：B
6．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，
由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
故选：B.
7．如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．

【答案】
【解析】由题图可知，，，．
直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，
故答案为：
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
9．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．4048D．8096
【答案】B
【解析】由得，由得，
设点的坐标为，点的坐标为，
又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，
则点，关于直线对称，即，得，
故选：B．
题型三：对数函数过定点问题
10．函数的图像恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数，令，解得，
所以，即函数恒过点.
故选：D
11．函数恒过定点，则的值（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】由函数恒过定点，可得，
所以，解得.
故选：C.
12．函数的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，即，
所以.
故选：B.
题型四：比较对数式的大小
13．（2024·宁夏银川·二模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
，
所以.
故选：A．
14．（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在定义域上单调递增，
故，
又，
所以.
故选：A
15．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
16．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，所以在上单调递增；
又有为上的偶函数，所以在上单调递减.
由于我们有，
即，故.
而，，，故.
故选：C.
17．（2024·全国·模拟预测）已知，，，那么，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，即，
，即，
，故
故选：B
题型五：解对数方程或不等式
18．（2024·高三·上海虹口·期中）方程的解为 ．
【答案】/
【解析】由题，.
故答案为：.
19．关于的方程的解为 ．
【答案】
【解析】由可得，即，
因为，可得，故.
所以，方程关于的方程的解为.
故答案为：.
20．不等式的解集 .
【答案】
【解析】，
故原不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
21．不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，则，
，即，故解集为.
故答案为：.
22．不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由可得，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
23．不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数，
则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
题型六：对数函数的最值与值域问题
24．的最小值为 .
【答案】1
【解析】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故的最小值为1.
故答案为：1.
25．已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ．
【答案】2
【解析】由已知可得，函数在区间上单调递增.
又对数函数在区间上的最大值比最小值大1，
所以，，解得.
故答案为：2.
26．函数的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意，知在上单调递减，在上单调递减，
故在上单调递减，
则当时该函数取到最大值，
故答案为：
27．设函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．
【解析】（1）由可得，解得，
即，则，即，
即，
故不等式的解集为；
（2）由于在上的最大值与最小值之差为1，
故，即或，
即的值为或.
28．已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
【解析】（1）要使函数有意义，则，可得：，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得：，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，
解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
题型七：对数函数中的恒成立问题
29．已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】对任意，总存在，使成立,
对成立
当时，，
在上是增函数，
当时，，
，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
30．已知函数且．
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若且存在，使得成立，求的最小整数值．
【解析】（1）由函数，设，
由且，可得函数在上是增函数，所以，
又由函数定义域可得，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）由，可得，
又由，可得，
所以，即，
因为存在，使得成立，可得，
所以实数的最小整数值是．
31．已知函数，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）
令，则，
当时，等价于，即，
得，有或，
则或，所以或.
（2）法一：令，由，得，
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，
令，对称轴，
①当时，即，，得.所以.
②当，即，，得.所以.
综上所述，的取值范围为.
法二：令，由，得，
依题意得恒成立，令，
①当时，易知在上单调递增，且当时，，
所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立.
②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得，
即当时，不等式恒成立.
③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号，
要使原不等式成立，须使恒成立，解得
综上所述，的取值范围为.
法三：令，由，得，
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，
由，得，
①当时，恒成立，R；
②当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
在上单调递减，所以，
所以，的取值范围为.
③当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
当且仅当，即，，时等号成立，即，
所以，的取值范围为
综上所述，的取值范围为.
32．已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
题型八：对数函数的综合问题
33．设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，由得，
所以令，这3个函数图象情况如下图所示：
设交于点，交于点，
由于的图象关于直线对称，
而的交点为，所以，
注意到函数的对称轴为直线，即，
且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，
从而.
故选：B.
34．（2024·高三·河北邢台·期中）已知，且的图象过点，又.
(1)若成立，求的取值范围；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为的图象过点，
所以，所以，因为，
所以，所以，又因为，
而在上单调递减，
由可得：
所以解得，
所以的取值范围为.
（2）因为，
所以对于任意恒成立等价于，
因为
.
令，则，
所以，
当，即，即时，，
所以.
35．（2024·高三·安徽·期中）已知，且是偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
【解析】（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即 ，得，所以.
（2）由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，
所以实数的最大整数值为5.
36．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为 ，
在中任取一个实数，都有，并且.
因此，是奇函数.
（2）等价于即在上有解.
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为.
1．（2024·高三·广西·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
2．（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，
所以，即，
将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式，
因为所得图象恰好与函数的图象重合，
所以，
所以，又且，
解得，
故选：D
3．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】的定义域为，关于原点对称，
故
所以，
故或（舍去），
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知，故，，在上恒成立，
等价于不等式即在上恒成立，
故，（点拨：当时，函数在上单调递增，
则，所以），
故，即，又，故．
故实数的取值范围是．
故选：B
5．（2024·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
且，
则，即.
故选：C.
6．（2024·福建莆田·三模）已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍.
设P（，），则.
设，.
由得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则的最小值是.
故选:D
7．已知是定义在上的函数，则给定上的函数（ ）
A．存在上的函数，使得
B．存在上的函数，使得
C．存在上的函数，使得
D．存在上的函数，使得
【答案】D
【解析】对A，，两边同取反函数，则，
即是的反函数，不是所有的函数都有反函数，如，，故A错误；
对B，，得，即是的反函数，故B错误．
对C，令，则，即与有交点，这个不一定，故C错误．
对D，只需要就可以满足，故D正确.
故选：D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
对于A，易得，所以，故A成立.
对于B，因为，所以，故B成立.
对于C，，
当且仅当时，等号成立，
显然等号不成立，所以，故C不成立.
对于D，因为且，
所以，故D成立.
故选：C.
9．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:)
A．
B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若年后，样本中氚元素的含量为，则
【答案】CD
【解析】由题意得，故有，
左右同时取对数得，故得，故A错误，
当时，，故B错误，
而当时，，
得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确，
由题意得，化简得，
，
将代入其中，可得，故D正确.
故选：CD
10．（多选题）（2024·江西萍乡·二模）已知，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为，
所以，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，因为，，
所以，
而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
11．（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为，，故故A选项正确；
对于B，取，此时满足，但，B选项错误；
对于C，可得：，
则，因为，即
所以，因为函数在不单调，所以C选项错误；
对于D，由可知，，因为，
所以，故D选项正确，
故选：AD．
12．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，在这里，所以严格来说有，故B正确；
对于C，，在这里，所以严格来说有，故C正确；
对于D，，而，
定义，则，
从而单调递增，所以，
所以，故D正确.
故选：ABCD.
13．（2024·宁夏银川·二模）已知函数的图象关于直线对称，则 ．
【答案】/0.75
【解析】函数的定义域为，
由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于数对称，
则，此时必有，即，解得，
此时，
因此函数的图象关于直线对称，即满足题意，
所以.
故答案为：
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
【答案】7
【解析】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题．
二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为，
由题意得作出函数的图像如图所示．
由图可知有3个根，当时，，即；
当时，，即.
则对于，当时，;
当时，，此时共有3个解．
对于，此时有1个解，，即有2个解．
对于，此时有1个解，，即无解．
因此，此时函数有7个零点．
故答案为：7.
15．已知函数，若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，
若，不妨设，
则，
所以，即，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．
16．（2024·高三·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，则可看作由复合而成，
由于在上单调递增，
故要使得函数在区间上单调递减，
需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减，
故，解得，
故a的取值范围为，
故答案为：
17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数．
(1)求及函数的定义域；
(2)求函数的零点．
【解析】（1）依题意，
所以，由得，
解得，所以的定义域为.
（2），
则，所以的定义域为，
令得，
所以，，则.
18．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故，
当时，，符合上式，
综上，所以的解析式为.
（2）当时，，
因为，所以，所以，
所以，
由对称性可知，当时，，
当时，，
综上，，
所以实数的取值范围是．
19．已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【解析】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
1．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【解析】因为，，即，所以．
故选：C.
2．（2024年天津高考数学真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：B
3．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021年天津高考数学试题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】，，
.
故选：C.
5．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
6．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，即.
故选：C.
7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0