专题06 不等式（练习）-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

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易混重难知识
1.不等式的基本性质
性质1 如果，那么；如果，那么.即.
性质2 如果，，那么.即.
性质3 如果，那么.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么.
2.基本不等式
（1）若，，当且仅当时，等号成立.
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
（2）基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题
（1）恒成立问题：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立.
若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立.
（2）能成立问题：若在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式成立.
若在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式成立.
（3）恰成立问题：不等式恰在区间D上成立，的解集为D，
不等式恰在区间D上成立，的解集为D.
易错试题提升
1.已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2.设，则下列不等式中成立的是( )
A.B.C.D.
3.若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4.已知，，则的最小值为( )
A.6B.5C.4D.3
5.如果，那么下列不等式中正确的是( )
A.B.C.D.
6.某批救灾物资随41辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则( )
A.70B.80C.90D.100
7.若，则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
8.设实数x满足，函数的最小值为( )
A.B.C.D.6
9.（多选）下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，，则
10.（多选）若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是( )
A.ab有最大值B.有最小值
C.的最小值是10D.
11.已知，，且满足，则的最小值为______________.
12.已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围__________.
13.如图，在半径为4（单位：）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为__________（单位：）.
14.已知实数x，y，满足，，则的取值范围是_______.
15.若实数x，y，m满足，则称x比y远离m.
（1）若x比远离1，求实数x的取值范围；
（2）若，，试问：x与哪一个更远离m，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得，或，所以或.
所以，由，得，
所以.
故选：B.
2.答案：D
解析：对A：若，则由，有，故错误；
对B：若，则有，故错误；
对C：若，则有，故错误；
对D：由，则，，故，故正确.
故选：D.
3.答案：C
解析：不等式可化为，，令，由题意可得，
，当且仅当，即时等号成立，
，所以实数a的取值范围为.
故选：C.
4.答案：D
解析：由于，，所以，
由，
(当且仅当时取等号)，可得的最小值为3，
故选：D.
5.答案：D
解析：当，时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，所以，即，则，故D正确.
故选：D.
6.答案：C
解析：第一辆汽车到达灾区所用的时间为，由题意，知最短每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为，要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短，又，当且仅当，即时等号成立.故选C.
7.答案：C
解析：对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误.
故选：C.
8.答案：A
解析：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A.
9.答案：BCD
解析：对A：，，
由不能得出，例如，，A错误；
对B：，
，即，B正确；
对C： ，则，
，C正确；
对D：作差得：，
，，则，
，即，D正确.
故选：BCD.
10.答案：AD
解析：对于A， ，，且， ，
当且仅当时取到等号， ， ab有最大值，选项A正确；
对于B，， ，
当且仅当时取到等号， B错误；
对于C，，
当且仅当即，时取到等号，所以C不正确；
对于D， ， ，∴D正确.
故选：AD.
11.答案：4
解析：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
12.答案：
解析：由得，所以，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，所以，
所以恒成立，可化为，即，解得.
13.答案：16
解析：如图：
连接OC，设，则，
，所以矩形ABCD的面积为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以矩形ABCD面积的最大值为.
故答案为：16.
14.答案：
解析：设，
，解得，所以，，
，，所以，，，
所以，，即.
因此，取值范围是.
故答案为：.
15.答案：（1）或
（2）比x更远离m
解析：（1）若x比远离1，则，
即，或，
解得或，
因此x的取值范围是或.
（2）因为，
所以.
因为，所以.
从而.
①当时，，
即.
②当时，
.
又因为，所以，
所以，即.
综上所述，，即比x更远离m.