辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得，，则
由可得，，则，故.
故选：A
2. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，则.
故选：C.
4. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 问右平移个单位长度
【答案】D
【解析】，
故将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
故D正确；经检验，ABC错误.
故选：D.
5. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设与的夹角为（），由，
得且，
即，解得，
所以，故在上的投影向量为.
故选：D.
6. 如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（ ）
A. 0B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】如图，连接，延长交于点，延长交于点.
则由题意和图形的对称性，可知，
且
，
由题意可知，
.
故选：C.
7. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递增，所以，即.
又因为函数在上单调递增，所以，所以.
故选：D.
8. 已知函数在上单调递增，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在上单调递增，又的最小正周期，
则在处取得最小值，在处取得最大值，
所以，即，
又，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校举办篮球赛，来自甲队的6名队员与来自乙队的4名队员的得分如下图，则下列命题是真命题的是（ ）
A. 甲队的6名队员得分的中位数是13.5
B. 乙队的4名队员得分的平均数是15.25
C. 这10名队员得分的60%分位数是15
D. 若采用分层随机抽样的方法从甲队和乙队的这10名队员中抽取5名队员参加某项活动，再从这5名队员中抽取2人作为代表，则这2名代表都来自甲队的概率是
【答案】ABD
【解析】对于A项，由茎叶图可得甲队的6名队员得分的中位数是，
故A正确；
对于B项，乙队的4名队员得分的平均数是，故B正确；
对于C项，将这10名队员的得分从低到高排列为，
因为，所以这10名队员得分的分位数是故错误；
对于D项，若采用分层随机抽样的方法抽取5名队员参加某项活动，
则抽取甲队的队员人数为3，设为，抽取乙队的队员人数为2，设为，
若从这5名队员中抽取2人作代表，
则所有情况有，共10种，
其中这2名代表都来自甲队的情况有3种，故所求概率为，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数B. 的值域为
C. 上单调递增D. 在上有6个零点
【答案】ACD
【解析】对于A项，的定义域为，
显然关于原点对称，由可知，
为奇函数，故A项正确；
对于B项，当时，，故B项错误；
对于C项，令函数易得在上单调递增，
且当时，的值域为，
因为函数在上单调递增，由复合函数“同增异减”原则，
可得在上单调递增，故C项正确；
对于D项，由C项可知，当时，的值域为
而，则函数在上有6个零点，
所以在上有6个零点，故D项正确.
故选：ACD.
11. 如图，在梯形中，，分别为边上的动点，且，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为9
C. 的最大值为12D. 的最大值为18
【答案】AC
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立平面直角坐标系，则.设，
其中，且，
得.
因为，所以，
解得，当且仅当时，等号成立.，
当且仅当点或点与点重合时，等号成立，则.
所以的最大值为12，最小值为.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若，则__________.
【答案】3
【解析】由，得，
显然，否则，矛盾，
所以.
故答案为：3.
13. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为__________.
【答案】
【解析】设，依题意可得，，解得，
故该扇环的面积为.
故答案为：.
14. 已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________.
【答案】
【解析】由题意可得.
令，得，
则或，
解得或.
由，得或，所以.
不妨取，
则
.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
（1）求的解析式与最小正周期；
（2）若，，求，的值．
解：（1）函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得，最小正周期．
（2）因为，，所以，
所以，
．
16. 已知向量满足.
（1）证明.
（2）求向量与夹角的余弦值.
解：（1）证明：因为，
所以，
故.
（2）由题意得，
，
，
故，
即向量与夹角的余弦值为.
17. 已知函数.
（1）将化成的形式；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为，
所以.
（2）由（1）知，
因为，所以，得到，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，故的取值范围为.
18. 在平行四边形中，.
（1）若与交于点，求的值；
（2）求的取值范围.
解：（1）设，则
，
设，
根据平面向量基本定理得解得，
所以，则，所以.
（2）因为，
，
，
所以
.
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为，
当时，取得最大值，且最大值为，
故的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域；
（2）若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围.
解：（1）设是上的任意两个实数，且.
（方法一）
，
因为为增函数，所以，
所以，即，所以在上单调递增.
（方法二），
因为，所以，
所以，又，
所以，所以在上单调递增.
故在上的值域为，即.
（2）因为的定义域为，
所以的定义域也为.
因为的最小值为，所以的最小值也为.
因为为关于增函数，所以为增函数，
又，所以.
由，
得，
依题意可得，
解得，则的取值范围是.