福建省莆田市2024届高三第四次教学质量检测(三模)数学试卷(解析版)

这是一份福建省莆田市2024届高三第四次教学质量检测(三模)数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，令，，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，则.
故选：B.
2. 已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为点在抛物线 上，且，
可得，解得，即抛物线，
所以抛物线C的准线方程是.
故选：D.
3. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】已知样本数据的平均数为，方差为，
记数据的平均数为，方差为，
则，
，
由题意可得，.
故选：C
4. 设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由是等差数列，得，满足充分性；
反之，，只需，得不到是等差数列，
不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即，
该圆锥的侧面积.
法一、因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.
法二、令，
易知时单调递减，时单调递增，即，
所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.故选：B.
6. 已知圆，，P是圆C上动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】C
【解析】由题意可得圆心，半径.
因为M是线段的垂直平分线，所以，
则.
因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线.
故选：C.
7. 已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍.
设P（，），则.
设，
由得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则的最小值是.
故选:D
8. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设在数列中，，则，，
从而，故是首项和公比都是2的等比数列.
由等比数列的通项公式可得，则，
故.故选：A.
二、选择题
9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
10. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为
B. 若AP=，则点P的轨迹长度为
C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】ACD
【解析】分别取棱，的中点M，N，连接，
易证，，
平面，平面，所以平面，
且平面，平面，所以平面，
又平面，则平面平面，
因为平面，且P是正方形内的动点，
所以点Р的轨迹是线段.
因为，所以，因为，所以，
故A正确.
因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，
则点Р的轨迹长度为，则B错误.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图1所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知则，，.
设平面CEF的法向量为，则，得.
设直线AР与平面CEF所成的角为，则.
因为，所以，所以，
所以，则，故C正确.
Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.
如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，
从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】AB
【解析】由题意可得则，
即.因为在上单调，
所以，所以，即，所以，即，
解得.因为，所以或或.
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上不单调，故不符合题意.
故选：AB.
三、填空题
12. 已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值是_________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以.
因为，所以，所以，
则.
故答案为：
13. 甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种.
【答案】
【解析】甲或乙参加A活动的情况有种，
甲和乙都不参加A活动的情况有种，
则他们参加活动的不同方案有种.故答案为：.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】设，则，
整理得（或）.
设，则，
故
.
令，则=.
故答案为：；
.
四、解答题
15. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）证明：.
（2）若，，求的面积.
（1）证明：根据正弦定理知，
整理得，
因为，所以，
由正弦定理可得；
（2）解：因，
所以，
由余弦定理可得，
即，
则，
因为，所以，所以，
则，即，
解得或，
当时，，此时的面积，
当时，，此时的面积.
所以的面积为或.
16. 跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示.
（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关?
（2）该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据；
（1）解：零假设为：该校大学生是否喜欢跑步与性别无关，
根据列联表中的数据，计算得到，
根据的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（2）解：由题意可知抽取的男大学生有人，女大学生有人，
则随机变量的所有可能取值为，
可得，，
，，
所以的分布列为
所以期望为.
17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面.
（1）证明：.
（2）若，求二面角的大小.
（3）在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：记，连接OP，由四边形是正方形，得О是AC的中点，
由，得，又，平面，，
则平面，又平面，所以.
（2）解：由（1）知，，由，得，即两两垂直，
以О为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
由平面，得是平面的一个法向量，
显然是平面的一个法向量，
设二面角为θ，由图知θ为锐角，
则，解得，
所以二面角的大小为.
（3）解：假设在侧棱PC上存在一点N，使得平面，且（），
由（2）知，，，
则，，
平面的一个法向量是，由平面，得，
即，则，解得，即，则，
所以在侧棱PC上存在一点N，使得平面，此时.
18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为是C上一点，.点分别为C的上、下顶点，直线：与C相交于两点，直线交于点P.
（1）求C的标准方程；
（2）证明点Р在定直线上，并求直线，围成的三角形面积的最小值.
解：（1）设椭圆的焦距为，则.
①当时，则，满足题意；
②当时，则，
分别设直线的斜率为，则，，
所以，即，
整理得，解得或.
又，且，所以没有c满足方程.
综上，
因为点在椭圆C上，所以，
又，解之得，，所以C的方程为；
（2）设，联立方程组，
整理得，
则，，显然，
由椭圆解析式知其上下顶点坐标为：，
可得直线的方程为，
直线的方程为，
则
，
解得，
故点Р在定直线：上，
设直线与直线的交点分别为E，F，
易得E，F

，
当且仅当时，等号成立.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，，求的取值范围.
（2）若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
（3）证明：（）.
（1）解：（解法一）由题意可知的定义域为，
，
设，其中.
①当，即时，，所以，单调递增，
所以当时，，故满足题意；
②当，且，即时，，
所以，单调递增，
所以当时，，故满足题意；
③当，且，即时，
设的两根为，，
解得，，
则当时，，所以，单调递减，
则，故不满足题意 .
综上，的取值范围是 .
（解法二）由题意可知的定义域为，
，
因为，，所以，解得，
以下证明满足题意.
由可知，，所以当时，，
设，，所以为递增函数，
所以，所以，
综上，a的取值范围是.
（2）证明：由（1）可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
取，，
（其中，所以，即），
取，.
（其中，所以，即），
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以，，
又，所以也是函数的零点，
显然且，所以，即，所以，所以，，成等比数列.
（3）证明：由（1）可知当时，为单调递增函数，
所以当时，，即，
整理得，即，
所以（），
则（），
故（）.
性别
跑步
合计
喜欢
不喜欢
男
40
20
60
女
15
25
40
合计
55
45
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P