河北省十县多校2024-2025学年高三上学期10月期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一组数据为，则该组数据第百分位数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知双曲线经过点，则其标准方程为（）
A. B.
C. D. 或
3. 等差数列与的前项和分别为，且，则（）
A 2B. C. D.
4. 已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（）
A. B. C. D.
5. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（）
A. 16种B. 32种C. 64种D. 96种
6. “”是“直线与直线平行”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，且满足，则（）
A. 2B. C. D.
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交椭圆于两点，的内切圆圆心分别为，则的周长是（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D.
10. 已知函数在上仅有两个零点，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列有关函数的描述正确的是（）
A. 是偶函数
B 图象关于点对称
C. 在上减函数
D. 在上的值域为
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的是（）
A. B. 是偶函数
C. D. 若，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________．
13. 如图，在平面四边形中，为的中点，且.若.，则的值是__________.
14. 已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围.
16. 随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.
第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在乙类试题中选择一道作答.
（1）求小李答题次数恰好为2次的概率；
（2）求小李最终得分的数学期望.
17. 如图，在直角梯形中，，四边形为菱形且，对角线和相交于点，平面平面，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角正弦值.
18. 已知抛物线为其焦点，点在上，且三角形的面积，（为坐标原点））.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线与相交于两点，若线段的垂直平分线与相交于两点.求证：四点在同一圆上.
19. 若正整数，则称为的一个“分解积”.
（1）当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；
（2）当正整数的分解积最大时，求中2的个数；
（3）当正整数的分解积最大时，求出中的值.项目
题型
每小题分值
每小题答对概率
甲类题
乙类题
丙类题