北京市顺义区第九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 空间任意四个点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案.
【详解】.
故选：D
2. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】先得到直线斜率，从而求出倾斜角.
【详解】，
故斜率为，故倾斜角为.
故选：A
3. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.
故选：B
5. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．
【详解】解：由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线斜率为，
直线方程为，
化为一般式为．
故选：A．
6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由可知，直线的方向向量与平面的法向量平行，列方程组求解即可.
【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为，且，
∴直线的方向向量与平面的法向量平行，
则存在实数使，
∴，解得，
故选：D.
7. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定几何体，利用已知的空间基底表示向量.
【详解】空间四边形中，
.
故选：B
8. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点Q，使得B. 存在点Q，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
【答案】B
【解析】
【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.
【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，
所以，故不可能平行，错；
B：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，对；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，错；
D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；
当，则，；
所以不在上述范围内，错.
故选：B
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上）
9. 已知，，则______；与夹角的余弦值为______．
【答案】 ①. 7 ②. ##
【解析】
【分析】利用空间向量数量积公式和夹角余弦公式进行求解
【详解】，
与夹角的余弦值为.
故答案为：7，
10. 设，，则______；______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
分析】根据空间向量线性运算法则得到，并利用模长公式求出答案.
【详解】；
.
故答案为：
11. 若直线与平行，则实数______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据两直线平行，列出有关m的等式，即可求出实数m的值，再验证直线的关系.
【详解】由于与平行，
则，则或，
当时，，，两直线重合，
当时，，，两直线平行.
故答案为：3.
12. 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，

①直线DD1的一个方向向量为；
②直线BC1的一个方向向量为；
③平面ABB1A1的一个法向量为；
④平面B1CD的一个法向量为1,1,1；
则上述结论正确的是___________（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可.
【详解】设正方体的棱长为1.
因为，且，所以①正确；
因为，，所以②正确；
因为平面，，所以③正确；
因为正方体中平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直，
故不是平面的法向量，所以④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题（共4小题，共60分，在答题卡相应位置上写出详细的解答过程）
13. 已知三个顶点为，，．
（1）求边所在的直线方程．
（2）求边上的高所在直线的方程；
（3）求边上的中线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）两点式求出直线的方程，化为一般式即可；
（2）根据垂直关系，设出所在直线方程为，将代入，求出，得到答案；
（3）求出，两点式求出直线方程，化为一般式即可.
【小问1详解】
边所在的直线方程为，即；
【小问2详解】
设边上的高所在直线方程为，
将代入得，解得，
故边上的高所在直线方程为；
【小问3详解】
线段的中点坐标为，即，
故边上的中线所在直线方程为，
即.
14. 已知是正方体，点为的中点，点为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求点到直线的距离．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出垂直关系；
（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案；
（3）利用点到直线距离向量公式求出答案.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
故，故，
所以；
【小问2详解】
由图可知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
平面与平面夹角的余弦值为；
【小问3详解】
，，，
点到直线的距离为
.
15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．

（1）求证：平面；
（2）求直线平面夹角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；
（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值；
（3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案.
【小问1详解】
因为底面为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
令，则，则，

直线平面夹角的正弦值为；
【小问3详解】
由（2）知，平面的法向量为，
点到平面的距离为.
16. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，从而平面，进而得出结论；
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解；
（3）设，则，求得，设直线与平面所成角为，由题意，列式求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
【小问2详解】
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
,
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴，
∴平面和平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
设，则，
设，则，得，
∴，，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
由题意，，
∴，此方程无解，
∴在线段上是不存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.