北京市十一学校2024-2025学年高二上学期第一学段考试数学试题（Word版附解析）

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时间：120分钟 满分：150分 命题人：宋倩倩 左辉霞 王占新 李思奇
一、选择题（共12道题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置。
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面面积为（ ）
A. B. C. 2D.
4. 已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 正三棱锥的每个面都是正三角形
B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
6. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则（ ）
A. 若则
B. 若则
C. 若则
D. 若则
7. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A. B. C. D.
8. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为（ ）
A B. C. D.
9. 已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
10. 下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
11. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
12. 直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（共6道题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置。
13. 抛物线上点到焦点距离为，则点的横坐标为__________.
14. 已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为________.
15. 如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心．若．则______．
16. 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
17. 过点，且与圆外切动圆圆心P的轨迹方程为________．
18. 已知正方体，则以下结论正确的是________．
①直线与所成的角为
②直线与所成的角为
③直线与平面所成的角为
④直线与平面所成角为
三、解答题（5道大题，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置。
19. 如图，在边长是2的正方体中，E、F分别为AB、的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
20. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面平面，且，点M、N分别为侧棱PD、PC的中点．
（1）求证：平面平面AMN；
（2）当时，求三棱锥体积．
21. 已知椭圆的左焦点为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线，直线与椭圆相交于，两点，的面积为，求直线的方程．
22. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
23. 若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，，（为坐标原点），求实数的取值范围.