湖南省2024届高三下学期模拟数学试卷(解析版)

这是一份湖南省2024届高三下学期模拟数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，由，
所以.故选：B
2. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程，即，故选：.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，解得，
故,结合,故
由于，故，
故选：A
4. 已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设动点
由于，，根据直线与的斜率之积为．
整理得，化简得：．
故选：D
5. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】C
【解析】的通项为，
由于，故展开式中的常数项为，
故选:C
6. 某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区内进行投球.规定球重心投掷到区域内得3分，区域内得2分，区域内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率.
而已知，故，所以.
从而甲选手投掷一次得1分的概率为.
故选：B.
7. 已知函数及其导函数的定义域均为R且连续，记，若，，且对任意的，，，都有恒成立，则（ ）
A.
B.
C. 函数的一个极大值点为
D. 函数在区间内单调递增
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
即，所以，
即，又，则，
所以，则，所以4是的周期，
对于中，令得，所以，故A错误；
，故，故B错误；
由于，不妨设，则有，
则由单调性定义知在上单调递增，又，
因此在上单调递增，又，
故当时，，当时，，
因此，在上，单调递减，在上，单调递增，
所以是函数的一个极小值点，故C错误；
当时，，又4是的周期，故时，，
因为，所以当时，，时，，
所以时，，即函数在区间内单调递增，故D正确.
故选：D
8. 如图，在正四棱台中，，为上底面的对角线，且下底面的面积和侧面的面积分别为20和，则该正四棱台外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.
而下底面的面积是，所以下底面的边长.
而，所以上底面的边长.
由于每个侧面都是上下底分别为和的等腰梯形，而面积为，
故每个等腰梯形的高，
所以每个等腰梯形的侧棱长.
由于每条侧棱在底面上的投影长都是，所以该棱台的高.
最后设该棱台外接球球心到下底面距离为，则外接球球心到上底面的距离为，并设外接球的半径为.则，，
所以，
即.解得，
所以.
所以该外接球的表面积等于.
故选：A.
二、选择题
9. 已知函数的部分图象如图所示，且函数的图象上相邻两个零点间的距离为，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数
C. 函数在区间内单调递增
D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【解析】因为的图象上相邻两个零点间的距离为，所以函数的最小正周期为，故A错误；
，由题意得，所以，
又，所以，
又，所以，即，故B正确；
当时，，所以函数在区间内单调递增，故C正确；
因为，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确，
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数为周期函数
B. 函数在区间内是减函数
C. 函数零点的取值集合为
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】对于A,，
所以是以为周期的周期函数，故A正确；
对于B：因为,在上为减函数且恒为正，
所以在单调递增，在上为增函数，
根据复合函数单调性同增异减原则，可得在上为减函数，
在上为增函数，所以在上是减函数，故B正确；
对于C：令，
所以，由于无实数根，
所以,解得，
故函数零点的取值集合为，故C错误；
对于D,，
所以的图象关于直线对称，故D正确．
故选：ABD
11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，，点E，M，N分别为AD，PD，BC的中点，记过点M，N，E的平面为，四棱锥P-ABCD的体积为V，则（ ）
A AM⊥平面PCD
B. BM⊥PD
C. 平面截四棱锥P-ABCD两部分中较大部分几何体的体积为
D. 平面PBC⊥平面PCD
【答案】ABC
【解析】因为四边形ABCD为正方形，，
所以，又M为PD的中点，所以，
又PA⊥底面ABCD，得，
又四边形ABCD为正方形，得，
又，且平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，所以，
又，且平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，故A正确；
如图,连接，由四边形ABCD为正方形，，
可得，
又PA⊥底面ABCD，则，故是等边三角形，
又M为PD的中点，所以，故B正确；
连接，又点E，M，N分别为AD，PD，BC的中点，
则有，
又平面，
可得平面，平面，
记过点M，N，E的平面为，交于点，连接，
又，所以平面平面
又由面面平行的性质可得，
故为的中位线，由点分别为的中点，
得，
又四棱锥P-ABCD的体积为V，得，
又，则，
所以，
则
故较大部分几何体的体积为，故C正确；
过B作于点F连接，
由已知得，则，
则为二面角B-PC-D的平面角，
设，由等面积法得，
得，故 ，
中，，
故平面PBC与平面PCD不垂直，故D错误.故选：ABC.
三、填空题
12. 在复平面内，复数z对应的点为，则______．
【答案】
【解析】由于复数z对应的点为，所以，
故，故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点P到，的距离之和为，若存在一点P满足的面积为，写出满足条件的一个动点P的轨迹方程______．
【答案】
【解析】由题可知，动点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
椭圆方程可设为，
椭圆的焦点三角形面积，
所以题中所谓的焦点三角形面积，
即，所以，
所以椭圆方程为，
写出一个符合题意的椭圆方程，则可以是，故答案为：.
14. 正方形螺旋线是由多个不同大小正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形的边长为，且，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为，第个正方形的面积为，则___________.
【答案】
【解析】由于第个正方形的边长为，而第个正方形的面积等于第个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故.
而，故.所以
.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知公差不为0的等差数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）记是数列的前项和，证明: .
（1）解：设，则由已知有，.
将第一个等式展开化简可得，故由知.
再代入第二个等式可得，
解得，从而.
故的通项公式是.
（2）证明：由于，
故
.
16. 已知为椭圆的右焦点，过的右顶点和下顶点的直线的斜率为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点（均异于点），记直线和直线的斜率分别为，求的值.
解：（1）由有；而，，故.
所以，从而，故.
所以的方程是.
（2）设，，将直线与联立：.
将直线代入椭圆，得到.
展开即为.
故，.
由于，故，即，
从而
.所以.
17. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，为线段上异于端点的一点.
（1）求点到平面的距离；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）因为是直三棱柱中且AB⊥AC，所以两两垂直，
则可以以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
又，所以，
因为E为的中点，所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以点B到平面的距离；
（2）结合（1），由于D为的中点，所以，
设，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故，
平面的一个法向量可以为，
因为平面与平面ADF的夹角的余弦值为，所以，
解得，
所以，平面的一个法向量，
则，设直线与平面ADF所成角为，则
18. 在农业生产中，对植物病害进行诊断可以帮助我们确定并采取适宜的防治措施，能很大程度上减少植物病害的发生，保障农作物的品质和产量．为测量一植物的某项指标值，研究人员引入了一种新型检测方法，该方法每次只需检测叶片黄化程度、病斑面积两项，若叶片黄化程度的百分比大于且白病斑面积的百分比大于，则检验结果为阳性，否则为阴性．为检验该检测方法是否准确，研究人员随机抽取类植物50株（用“*”表示）和类植物50株（用“+”表示）进行检测．检测结果制成如下散点图：
（1）从50株类植物中随机抽取一株，求检测结果呈阳性的概率；
（2）从检测结果呈阴性的类植物和呈阳性的类植物中按照分层抽样的方法抽取8株，再从这8株中随机抽取3株，记这3株中呈阳性的株数为，求的分布列和数学期望；
（3）根据散点图，补全下面的2×2列联表，并判断是否有的把握认为植物的种类与该指标检测结果有关．
附：，
解：（1）由散点图可知50株类植物中，检测结果呈阳性的有7株，
所以从50株类植物中随机抽取一株，求检测结果呈阳性的概率.
（2）由散点图可知检测结果呈阴性的类植物有21株，
所以从呈阴性的类植物和呈阳性的类植物中按分层抽样抽取8株，分别为株，株，
所以的可能取值为，
所以，，，
所以的分布列为
的数学期望.
（3）根据散点图可得2×2列联表：
所以，
所以有的把握认为植物的种类与该指标检测结果有关．
19. 若函数及其导函数均在区间D上有定义，且对于，都有恒成立，则称函数在区间D上为k级单增函数.
（1）证明：在区间内为5级单增函数；
（2）若在区间上为3级单增函数，求实数a的取值范围．
解：（1），，
，由于在上单调递增，
故，所以在区间内为5级单增函数；
（2），，
，
由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，
故，
令，
则，
令，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
当时，，
当时，，
故时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在和处取得极小值，
又，
故，，
故，
同理，
故.
植物种类
阳性
阴性
合计
A类植物
B类植物
合计
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
植物种类
阳性
阴性
合计
A类植物
29
21
50
B类植物
7
43
50
合计
36
64
100