天津市河西区2024届高三下学期总复习质量调查(三)数学试卷(解析版)

这是一份天津市河西区2024届高三下学期总复习质量调查(三)数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
参考公式：
·如果事件A，B互后，那么．
·如果事件A，B相互独立，那么．
·柱体的体职公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．
·锥体的体积公式V=13Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．
．梭台的体积公式，其中，S表示上下底面面积，h表示锥体的高．
一、选择题
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
又，所以.
故选：A.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】得，得，
成立，则成立，
而成立，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数是增函数，则，所以，
由函数是增函数，则，所以，
由函数是减函数，则，所以，
由，，
由函数是增函数，则，即，
故选：B.
4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，要使函数有意义，则，即，
所以或或或，
所以函数的定义域为，A不正确；
对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确；
对于C，对于函数，则，当时，，
则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确，
对于D，对于函数，定义域为，且，
，当时，，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，
上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确.
故选：D.
5. 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因正项数列为“对奇数列”，所以，
则，即数列是公比为2的等比数列，又因为，
所以，
故选：C.
6. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（ ）
A. 爱好跳绳与性别有关
B. 爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C. 爱好跳绳与性别无关
D. 爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
【答案】D
【解析】，，，
，，，
故，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
故选：D
7. 已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】由可得，
因为时，的最小值为，
所以的最小正周期为，且，所以，解得，
即，
又，可得直线是函数的一条对称轴，
所以，解得，
又，当时，，即，
将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，
则.
故选：B
8. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A. 1∶1B. 4∶3C. 6∶5D. 7∶5
【答案】D
【解析】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V，
则，
因为E，F分别为AB，AC的中点，故,
结合题意可知几何体为棱台，
则，
故,故，
故选：D
9. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】如图所示：
设椭圆和双曲线的方程分别为：，，
由题意得，
设，则，
解得，
在中，由余弦定理得：，
即，化简得，
则，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题
10. 已知，（i为虚数单位），则_______.
【答案】2
【解析】由，
则，所以.
故答案为：2.
11. 在的展开式中的系数是______.
【答案】
【解析】因为的展开式中，
通项公式，
令，解得，
又，
∴的系数为.
故答案为：．
12. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【答案】5%
【解析】令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：
，
而，故.
故答案为：5%.
13. 已知，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A，B，当最小时，点P坐标为___________.
【答案】
【解析】化圆为，
圆心，半径．
．
要使最小，则需最小，此时与直线垂直．
直线的方程为，即，
联立，解得．故答案为：．
14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______．
【答案】. 2 2
【解析】由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
15. 已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当且时，，，
当且时，；当时，．
故在，上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，
时，；时，
由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下：
令得，设，得关于的方程（*）
恒成立，设（*）式有两个不等实根，，
当，时，即，满足题意，
当或，满足题意，
方法一：
令，则或，
故或，
综上，实数的取值范围是．
方法二：（*）式化为，令，
易知在，上单调递增，
且，，，
其图象大致如图：
当或时，
满足或，综上，实数的取值范围是．
三、解答题
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）设函数．
（ⅰ）求的定义域和最小正周期；
（ⅱ）求的值．
解：（1）由题意知，则，
则，又，
故，则可得，
即，即，
即，故；
（2）（i）由于,令，
则，
故的定义域为，最小正周期为；
（ii），
故.
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：取中点为E，连接，
由题意可知，
即四边形为平行四边形，故，
而，
故；又平面ABCD，
故以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
故，故，则；
（2）解：由（1）知，
设异面直线与所成角为，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为；
（3）解：由题可设，
则，
设平面的一个法向量为，
，
由，得，取，则，
平面的法向量可取为，
平面与平面所成角为45°，
则，解得，
则，，
,
设平面的一个法向量为，
由，
得，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为.
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.
解：（1）由题可得，，得，
所以椭圆的方程：；
（2）椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，
设，，
由题，联立方程组，消去x得，
所以，，
，得，同理，，得，
设轴上一点，则，同理得:，
，
因为，
得：，即或，
所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，.
19. 已知函数，，其中．
（1）若，求实数a的值
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，则，
由可得，解得
（2）函数的定义域为，
且，
当时，令，可得或，
①当，即时，
对任意的，，的单调递增区间为．
②当，即时，
，得或，，
得，
的单调递增区间为和，单调递减区间为
③当，即时
，得或；，得，
的单调递增区间为和，单调递减区间为，
综上所述，时，函数的单调增区间为；
时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
（3）由，可得，即，其中，
令，，
若存在，不等式成立，则，，
，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数在端点或处取得最小值．
因为，，所以，
所以，所以，
因此，实数的取值范围是．
20. 已知递增数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
解：（1）因为，当时，，则；
当时，，则，即，
而为递增数列，故，
即为首项为2，公差为2的等差数列，
故；
（2）（i），
所以，
，
两式相加可得，
故数列的通项公式为；
（ii），
故.
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110