湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知椭圆的离心率为,左､右焦点分别为,,A为椭圆上除左､右顶点外的一动点,则的面积最大为( )
A.1B.C.2D.
3．设,直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．若函数为偶函数,则( )
A.B.0C.1D.3
5．已知点为直线上任意一点，则的最小值是( )
A.B.2C.D.
6．如图,在异面直线m,n上分别取点A,B和C,D,使,,,且,,若,则线段AC的长为( )
A.2B.C.D.6
7．已知点P为椭圆上任意一点,则点P到直线的距离的最小值为( )
A.B.4C.D.
8．如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署.如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是( )
A.从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B.从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年
C.这6年中国海洋生产总值的极差为15122
D.这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628
10．已知圆与圆相交于A,B两点（点A在第一象限）,则( )
A.直线AB的方程是
B.A,M,B,N四点不共圆
C.圆M的过点A的切线方程为
D.
11．在正方体中,点P满足,其中,则下列说法正确的是( )
A.若A,B,D,,P在同一球面上,则
B.若平面,则
C.若点P到A,B,D,四点的距离相等,则
D.若平面PBD,则
三、填空题
12．已知直线在x轴上的截距为1,则________.
13．已知,则________.
14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点,B为直线上的动点,P为圆上的动点,则的最小值为________.
四、解答题
15．已知直线的方程为,直线经过点和.
（1）若,求a的值;
（2）若当a变化时,总过定点C,求.
16．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求;
（2）若,的面积为,求c.
17．已知圆,点关于直线的对称点为.
（1）求l的方程;
（2）若l与圆E相交于M,N两点,圆心E到l的距离为,圆C的圆心在线段MN上,且圆C与圆E相切,切点在劣弧MN上,求圆C的半径的最大值.
18．如图,在三棱锥中,,,,M,N分别是棱PB,CA上的动点（不含端点）,且.
（1）证明:平面平面PAB.
（2）设,则当t为何值时,MN的长度最小?
（3）当MN的长度最小时,求平面AMN与平面PAB的夹角的余弦值.
19．已知椭圆经过点,且离心率为为坐标原点.
（1）求E的方程.
（2）过点且不与y轴重合的动直线l与E相交于A,B两点,AB的中点为Q.
（i）证明:直线l与OQ的斜率之积为定值;
（ii）当的面积最大时,求直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由可得,
故对应的点为,位于第四象限,
故选:D
2．答案：B
解析：由题可知椭圆的焦点在x轴上,,
因为椭圆的离心率为,所以,解得,
所以,
如图所示,当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时,的面积最大,
此时的最大面积为,
故选:B.
3．答案：A
解析：因为直线,,
当时,,,此时,即可以推出,
当时,,解得或,
又时,,,此时,所以推不出,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选:A.
4．答案：B
解析：因为函数为偶函数,所以,
所以,
解得,经检验满足题意,
故选:B.
5．答案：C
解析：点为直线上任意一点，
又的几何意义为直线上的点到的距离，
故最小值为到直线的距离，即最小值为
故选：C.
6．答案：C
解析：如图,过C作,过B作于H,连接BH,HD,
因为,所以,又,,面CDH,
所以面CDH,又面CDH,所以,
又易知,所以,
又,所以,在中,,,
所以,
在中,,,所以,
又,,所以,
故选:C.
7．答案：D
解析：由题可设,
则点P到直线的距离为,其中,
所以当时,d最小,最小值为.
故选:D.
8．答案：D
解析：如图连接AC,
则
由题可知,,,,
,,
,
,
,
,
在中,,
,
在中,
故选:D.
9．答案：BD
解析：对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误；
对于B，2019年海洋生产总值年增长率是，
2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是，
2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是，
故年增长率最大的是2021年，故B正确；
对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误；
对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，
所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确.
故选：BD.
10．答案：AC
解析：对于选项A,因为圆与圆,两圆方程相减得到,即直线AB的方程是,所以选项A正确,
对于选项B,由和,解得或,即,,
又,,所以MN中点为,则,又,
所以P到A,M,B,N四点距离相等,即A,M,B,N四共圆,所以选项B错误,
对于选项C,由选项B知,所以,得到圆M的过点A的切线方程为,
整理得到,所以选项C正确,
对于选项D,因为,,
在中,由余弦定理得,
所以选项D错误,
故选:AC.
11．答案：BCD
解析：因为点P满足,所以点P在线段上(不包含A点).
对于A,若A,B,D,,P在同一球面上,则此球为正方体的外接球,所以P与重合,所以,故A错误;
对于B,如图1,设的中点为Q,连接PQ,
则平面与平面的交线为直线PQ,
要使平面,则需,则P为的中点,此时,故B正确;
对于C,点P到A,B,D,四点的距离相等,则P为正方体外接球的球心,即的中点,此时,故C正确;
对于D,如图2,设正方形ABCD的中心为O,连接,与交于点R,连接
易证,
所以,所以R是上靠近A的三等分点,
假设正方体的边长,则,
如图所示,在平面中,建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,,,
所以,,
因为,所以,
若平面PBD,面PBD,则,
由对称性易知,则,
从而P是上靠近的三等分点,此时,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：
解析：因为直线,令,得到,
由题有,解得,
故答案为:.
13．答案：/0.6
解析：
,
故答案为:.
14．答案：9
解析：令,则.
由题意可得圆是关于点A,D的阿波罗尼斯圆,且,
设点D坐标为,则,
整理得,
由题意得该圆的方程为,即
所以,解得,
所以点D的坐标为,所以,
当时,此时最小,最小值为,
因此当时,的值最小为,
故答案为:9
15．答案：（1）或.
（2）
解析：（1）直线经过点和,所以,
所以直线的斜率为,因为直线的斜率为,,
所以,解得或.
（2）直线的方程为可以改写为,
由,解得,
所以总过定点,
根据两点间的距离公式,
16．答案：（1）
（2）4
解析：（1）由,得到,
又,,得到,即,
所以,得到,又,所以,
所以,解得.
（2）因为,由（1）知,所以,
由正弦定理,得到,
又,所以,
又的面积为,所以,
整理得到,解得.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点关于直线的对称点为,所以,得到,
又易知AB中点为,则,解得,
所以直线l的方程为.
（2）因为圆的圆心为,
由题有,解得或,当时,圆,不合题意,
所以,圆,即,
设,,由,消得到,
所以,
设圆C的圆心为,半径为r,又圆C与圆E相切,切点在劣弧MN上,
则,得到,
又易知,所以当时,圆的半径最大,最大值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）时,MN的长度最小
（3）
解析：（1）由于,,,
又,,BC,平面ABC,
所以平面ABC,
又因为平面PAB,所以平面平面PAB.
（2）作交AB于D,连接DN,
由于平面ABC,故平面ABC,平面ABC,故,
,故,
,故又易知是等腰直角三角形,
由余弦定理可得
,
故,
故当时,此时MN的最小值为.
（3）由于,,故,
以B为坐标原点,以BC,BA所在的直线分别为x和y轴,
以过点B垂直与平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
当时,M,N分别为PB,AC的中点,
则,,,,,
所以,,
设平面AMN的法向量为,则,即,
取,可得平面AMN的一个法向量,
平面PAB的一个法向量为,
设平面AMN与平面PAB的所成角为,则,
故平面AMN与平面PAB的所成角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）①证明见解析;
②或.
解析：（1）由已知,得解得
故E的方程为.
（2）①由题可设,,.
将,
消去y,得.
当,即时,有.
所以,,即,
可得,所以,即直线l与OQ的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点O到直线l的距离,
所以的面积.
设,则
,,,
当且仅当,即时等号成立,且满足.
所以当的面积最大时,直线l的方程为或.