黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二数学试卷
出题人：高三备课组审题人：高三备课组
考试时间：120分钟分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（48分）
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项是正确的．）
1．直线的倾斜角量（ ）
A．B．C．D．
2．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设点，直线，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．设直线，点，，为上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
C．D．
8．某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部全对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．若直线与圆相交于，两点，则的长度可能等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线的方向向量，平面的法向是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
11．已知两圆方程为与则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆有3条公切线，则
B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C．若两圆公共弦长为，则
D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
第Ⅱ卷 非选择题（92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．设为实数，若方程表示圆，则的取值范围为______．
13．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______．
14．点，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．
16．（15分）已知直线和的交点为．
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的一般式方程．
17．（15分）已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点在上，且．
（1）求的标准方程；
（2）诺直线与交于，两点，且的面积为，求的值．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，、分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．
高二期中考试数学答案
一、单选题
二、多选题
二、填空题
12． 13． 14．
四、解答题
15．【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】（1）因为平面，平面，所以；
底面为菱形，所以；
又因为，，平面，所以平面．
（2）如图：设，取CF的中点M，连接OM，则
所以平面．
故可以以O为原点，建立如图空间直角坐标系．
因为为直线DA与平面ACF所成的角，所以，
又，
所以，，，，，
则，．
设平面的法向量为，
则．
取，则，，，
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
∵，则，
∴，即平面与平面所成角的正弦值为．
16．【答案】（1）（2）或
【详解】：（1）联立，解得，即
直线经过点且与直线，平行，
故设直线的方程为：，将带入可得，
故直线的方程为：，
（2）由题意知直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5；
则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为，
与两坐标轴的交点别为，，则，
解得：或，
故直线的方程为：或，即或．
17．【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，，得直线AB的斜率为，线段中点
所以，直线CD的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆C的方程为；
（2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线CN即为直线，且，
直线方程为，即．
18．【答案】（1）（2）或
【详解】（1）由题意，设C的标准方程为，
则，，即，所以，
所以C的标准方程为，
（2）设，，
由联立得，
由题意，
即，，，
显然直线过定点，
所以，
所以，即，
所以，解得或，均满足，
所以或．
19．【答案】（1）（2）证明见解析
【详解】（1）依题意，得，则，又，分别为椭圆上下的顶点，，
所以，即，
所以，即，则，所以椭圆方程为．
（2）因为椭圆的方程为，所以，，，，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为．
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
A
B
B
B
题号
9
10
11
答案
BCD
AC
ABD