河北省沧州市黄骅市渤海新区中捷产业园一中2024—-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

这是一份河北省沧州市黄骅市渤海新区中捷产业园一中2024—-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
2．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则q的值为（ ）
A．B．C．1D．2
3．若是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是抛物线上的点，则（ ）
A．B．C．D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列对一元二次方程的根的情况判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．不确定
8．参加一次交易活动，每两人都交换一次名片共交换了110张名片，若有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）
A．向左平移2个单位，再向下平移5个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移5个单位D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
10．若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（ ）
A．23B．34C．23或34D．或
11．已知抛物线及直线，针对b的不同取值，三人的说法如下．
甲：若，则和交点的个数为0．
乙：若，则和交点的个数为1．
丙：若，则和交点的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙错，丙对B．甲、丙对，乙错C．甲、乙对，丙错D．乙、丙对，甲错
12．如图，用一段长30m的铁丝网靠墙围成一个面积的矩形区域，墙长18m，垂直于墙面的铁丝网的长为（ ）
A．5mB．10mC．5m或10mD．12m
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为______．
14．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是______．（写出一个符合题意的值即可）
15．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则______，主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米．
16．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）一元二次方程______（选填“是”或“不是”）“倍根方程”；
（2）若是倍根方程，则的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题6分）
嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下．
解：，①
，②
，③
方程有两个相等的实数根
，④
（1）嘉嘉解方程的方法是______；
A．直接开平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
他的求解过程从第______步开始出现错误．
（2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
18．（本小题8分）
如图是小高和小齐同学的对话：
（1）根据小高给出的内容，求这个凸多边形是几边形？
（2）小齐说的多边形存在吗？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的理由．
19．（本小题8分）
如图，利用函数的图象，直接回答下列问题：
（1）方程的解是______；
（2）当x______时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足______时，函数值大于0；
（4）当时，y的取值范围是______．
20．（本小题8分）
已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根．
（2）若是原方程的两个根，且，求m的值，并求出此时方程的两个根．
（3）若方程有一根不小于2，求m的取值范围．
21．（本小题10分）
某商场统计了某品牌商品2月份到4月份的销量，该品牌商品2月份销售100件，4月份销售144件，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同．
求该品牌商品销售量的月增长率；
若此种商品的进价为每件30元，销售过程中发现，当售价为每件40元时，月销售量为200件，若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少5件，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌商品的实际售价应定为每件多少元？
22．（本小题10分）
如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）设抛物线的顶点为M，请通过计算说明的面积能否为面积的2倍？
23．（本小题10分）
某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）直接写出y与x的关系式______；
（2）求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？
24．（本小题12分）
如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点．其顶点为D．直线与抛物线交于A，两点．
（1）求k、m的值；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，若，求点E的坐标；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出的面积的最大值．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：由题意可得：，
抛物线的对称轴为直线，
故选：B．
根据顶点式直接说出对称轴即可，能根据顶点式说出对称轴是解此题的关键．
本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．【答案】B
【解析】解：代入方程得，
解得：，
故选：B．
把代入方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，把代入方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
3．【答案】D
【解析】解：是关于x的一元二次方程，
，
解得，
此时方程为或，
∴方程的一次项系数为3或，
故选：D．
根据一元二次方程的定义即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握根据一元二次方程的定义是解题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：移项得，，
配方得，，
即，
故选：C．
先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一般的平方．
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：是抛物线上的点，
，
，
，
，
，
故选：D．
分别求出、2时的y值，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数、二次函数图象与性质．
首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【解答】
解：A、对于直线来说，由图象可以判断，；此时对于抛物线来说，对称轴为直线，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线来说，由图象可以判断，；此时对于抛物线来说，图象开口应该向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线来说，由图象可以判断，；此时对于抛物线来说，图象开口向下，对称轴为直线，位于y轴的右侧，当，可求得，可知抛物线与直线相交的两点的横坐标分别是和1，故符合题意，
D、对于直线来说，由图象可以判断，；此时对于抛物线来说，图象开口应该向上，故不合题意，图形错误．
故选C．
7．【答案】B
【解析】解：这里，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
根据一元二次方程根的判别式，即可得出，进而即可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：设有x人参加活动，
依题意得：，
故选：B．
设有x人参加活动，则每人送出去张名片，根据共送名片110张，列方程即可．
本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
9．【答案】A
【解析】解：，
∴函数的顶点为，
∵二次函数的顶点为，
∴将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移5个单位，可得到二次函数的图象，
故选：A．
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案．
本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
10．【答案】A
【解析】解：根据题意，设十位数字为x，则个位数字为，列一元二次方程得：
，
整理得：，
，
解得：（舍去），，
，
，
所以这个两位数是23，
故选：A．
设十位数字为x，个位数字为，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可．
此题考查一元二次方程的实际应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
11．【答案】C
【解析】解：
，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
，则和交点的个数为0，
，则和交点的个数为1，
，则和交点的个数为2，
∴甲、乙说法正确，丙说法错误，
故选：C．
求出抛物线的顶点坐标为，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
12．【答案】B
【解析】解：根据题意，设与墙垂直的边长xm，则与墙平行的边长为，
列方程得：，
整理得：，
解得：．
当时，，不符合题意，舍去，
所以．
所以垂直于墙面的铁丝网的长为．
故选：B．
设与墙垂直的边长xm，则与墙平行的边长为米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
13．【答案】3
【解析】解：设方程的另一个根是a，
则根据根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根是3，
故答案为：3．
设方程的另一个根是a，根据根与系数的关系得出，求出即可．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
14．【答案】0（答案不唯一）
【解析】解：由题意可知无实数根，
，
解得：，
的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
由抛物线与x轴没有交点，可知无实数根，即，然后解不等式，在此范围内取一个值即可．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．【答案】；20
【解析】解：由题意可得：，
，
，
，
∴倒影点的坐标为，
∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为．
故答案为：；20．
根据桥拱在水面的跨度OA约为20米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解a的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解．
本题考查了二次函数的运用，正确进行计算是解题关键．
16．【答案】是12或3
【解析】解：（1）因式分解，得
，
或，
，
∵4是2的2倍，
∴方程是“倍根方程”，
故答案为：是；
（2），
或，
解得：，
是“倍根方程”，
∴当是3的2倍时，即，则，
当3是的2倍时，即，则，
∴故答案为：12或3．
（1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可；
（2）解方程，然后分3是的2倍，是3的2倍，两种情况讨论，即可获得答案．
本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
17．【答案】D②
【解析】解：（1）嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误，
故答案为：D，②；
（2），
，
，
解得：．
（1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为没有化为一般形式，使得b、c的值错误，从第②步开始出现错误；
（2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．【答案】解：（1）设这个多边形的边数为n，
，
，
或（舍去），
∴这个凸多边形是十边形；
（2）这个多边形不存在，
假设存在这个多边形，设这个多边形的边数为x，
，
，
必须是正整数，
∴不存在一个多边形的有16条对角线，
∴这个多边形不存在．
【解析】（1）设这个多边形的边数为n，根据k边形的对角线条数为建立方程求解即可；
（2）假设存在这个多边形，设这个多边形的边数为x，则可得方程，解方程看是否有正整数解即可得到结论．
本题主要考查了多边形对角线条数问题，一元二次方程的应用，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
19．【答案】或
【解析】解：（1）∵函数的图象过点，
∴当时，或，
∴方程的解是：，
故答案为：；
（2）抛物线的对称轴为，
由图象可知，当时，y随x的增大而减小，
故答案为：；
（3）由图象可得：当或时，函数值大于0，
故答案为：或；
（4）由图象可知，函数开口向上，对称轴为，
∴当时，，
当时，该函数有最小值，，
当时，，
由图象可得，当时，y的取值范围是：，
故答案为：
（1）根据函数图象，可以得到方程的解；
（2）根据函数图象，得出对称轴为，即可得出当x为何值时y随x的增大而减小；
（3）根据函数图象可以写出，当x为何值时，函数值大于0；
（4）根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当时，y的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．【答案】解：（1），
，
∴无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2），即，
，
此时方程为：，
，
，
，
解得：；
（3）关于x的一元二次方程，由（1）知，，
，
，
，
∵方程有一根不小于2，
，
，
，
①或②，
由①得：舍去，
由②得：，
的取值范围是．
【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可求证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，即，求出，把代入原方程中得到，解方程即可；
（3）根据题意求出方程的两根为，根据方程有一根不小于2，得到，求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，绝对值的意义，掌握相关知识是解题的关键．
21．【答案】解：（1）设该品牌商品销售量的月增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌商品销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌商品的实际售价应定为每件y元，则月销售量为件，每件的销售利润为元，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
答：该品牌商品的实际售价应定为每件45元．
【解析】（1）设该品牌商品销售量的月增长率为x，根据该品牌商品2月份及4月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该品牌商品的实际售价应定为每件y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．【答案】解：（1）根据题意得，
解，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，
解得，
，
令，则，
；
（3）的面积不能为面积的2倍，理由：
∵点，
，
当时，，
∴点，
，
，
，
，
的面积不能为面积的2倍．
【解析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）令，则，可求出点B的坐标，令，则，可求出点C的坐标；
（3）先求出点M的坐标，进一步可得到MN、OC，再根据MN与OC的关系及三角形面积公式即可得出结论．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）设，
将代入得：
，
，
故答案为：；
（2）设种植基地销售该蔬菜获得的日利润为w元，由题意得：
，
，
∴当时，w最大值，
∴种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为7200元；
（3）该蔬菜的日销售利润不能达到6000元，理由如下：
，
，
，
∴原方程没有实数根，
∴该蔬菜的日销售利润不能达到6000元．
（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值；
（3）根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式得出原方程无解，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．
24．【答案】解：（1）已知抛物线与x轴交于点A，
令，则，
解得：，
∴点，
把代入，得：，
解得：，
∴直线l的解析式为：，
直线与抛物线交于两点，把点C的坐标代入得：
，
解得：；
（2）已知抛物线的顶点为D，
，
∴点D的坐标为，
∵抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，
当时，，
∴点B的坐标为，
，
，
，
，
∴以B、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
设点E的坐标为，如图1：
分两种情况考虑：
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
∴点F的坐标为，
∵点F在抛物线上，
，
解得：（舍去），
∴点E的坐标为；
②当点E在线段（或）延长线上时，点F在点E下方，
∴点F的坐标为
∵点F在抛物线上，
，
解得：，
点E的坐标为或
综上：满足条件的点E的坐标为，或；
（3）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作轴，垂足为点M，过点C作轴，垂足为G，如图2，
设点P的坐标为，则点M的坐标为，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
，
，
，
，
，
∴当时，取得最大值，最大值为．
【解析】（1）令，则，求得点，利用待定系数法直线AC的函数关系式，即可求解；
（2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，D的坐标，再求出BD的长，证明以B、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，设点E的坐标为，分点E在线段AC上及点E在线段（或）延长线上两种情况考虑分别求解即可；
（3）过点P作轴，垂足为点M，过点C作轴，垂足为G，设点P的坐标为，则点M的坐标为，结合点A，C的坐标及，可得出关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、梯形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
销售单价x（元）
14
15
16
日销售量y（千克）
2000
1800
1600